定積分 $\int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2x = x(x-2)$ の符号を調べる。

$x^2 - 2x = 0$ となるのは $x=0, 2$ のときである。

$0 \le x \le 2$ のとき、$x^2 - 2x \le 0$ より $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$

$2 \le x \le 3$ のとき、$x^2 - 2x \ge 0$ より $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$

したがって、積分を区間 $[0, 2]$ と $[2, 3]$ に分けて計算する。

$\int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx$

$\int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2]_{0}^{2} = -\frac{8}{3} + 4 - (0) = \frac{-8 + 12}{3} = \frac{4}{3}$

$\int_{2}^{3} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{2}^{3} = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = (9 - 9) - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3}) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

したがって、$\int_{0}^{3} |x^2 - 2x| dx = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$