3つのサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 事象B（1の目が少なくとも1つ出る）が起こる確率。 (2) 事象A（すべて異なる目が出る）と事象Bが同時に起こる確率。 (3) 事象Bが起こったとき、事象Aが起こる条件付き確率。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 事象B（1の目が少なくとも1つ出る）が起こる確率。

(2) 事象A（すべて異なる目が出る）と事象Bが同時に起こる確率。

(3) 事象Bが起こったとき、事象Aが起こる条件付き確率。

2. 解き方の手順

(1) 事象Bが起こる確率

事象Bの余事象は「1の目が全く出ない」事象です。

1つのサイコロで1の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$ です。

3つのサイコロ全てで1の目が出ない確率は $(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ です。

したがって、事象Bが起こる確率は $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ です。

(2) 事象Aと事象Bが同時に起こる確率

事象Aと事象Bが同時に起こる確率は、3つのサイコロの目が全て異なり、かつ1の目が少なくとも1つ出る確率です。

まず、全ての目の出方の総数は $6^3 = 216$ 通りです。

事象Aが起こる確率は $\frac{6 \times 5 \times 4}{6^3} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ です。

事象Aが起こり、かつ1の目が全く出ない確率は、2,3,4,5,6の目だけが出る場合の数で、$5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。この確率は $\frac{60}{216}$となります。

事象Aと事象Bが同時に起こる確率は、事象Aが起こる確率から、事象Aが起こり、かつ1の目が出ない確率を引けば求められます。

よって、$\frac{120}{216} - \frac{60}{216} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18}$ です。

別の考え方：

3つのサイコロの目が全て異なり、かつ1の目が少なくとも1つ出る場合の数を数えます。

まず、1の目が1つ出る場合：残りの2つの目は1以外で異なる必要があります。$1 \times 5 \times 4 = 20$ 通り。サイコロの順序があるので、$20 \times 3 = 60$ 通り。

したがって、確率は $\frac{60}{216} = \frac{5}{18}$ です。

(3) 事象Bが起こったとき、事象Aが起こる条件付き確率

条件付き確率は $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ で求められます。

$P(A \cap B) = \frac{5}{18}$ ( (2)で計算 )

$P(B) = \frac{91}{216}$ ( (1)で計算 )

したがって、$P(A|B) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{91}{216}} = \frac{5}{18} \times \frac{216}{91} = \frac{5 \times 12}{91} = \frac{60}{91}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{91}{216}$

(2) $\frac{5}{18}$

(3) $\frac{60}{91}$