袋の中に白球が9個、黒球が5個入っている。この袋から同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白球が9個、黒球が5個入っている。この袋から同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、組み合わせの問題として解くことができます。

まず、袋から5個の球を取り出すすべての組み合わせの数を計算します。これは、14個の球から5個を選ぶ組み合わせの数なので、$_{14}C_5$ で表されます。

$_{14}C_5 = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 = 2002$

次に、白球が3個、黒球が2個取り出される組み合わせの数を計算します。これは、9個の白球から3個を選ぶ組み合わせの数と、5個の黒球から2個を選ぶ組み合わせの数の積で表されます。それぞれ $_{9}C_3$ と $_{5}C_2$ で表されます。

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 5 \times 2 = 10$

したがって、白球が3個、黒球が2個取り出される組み合わせの数は、 $84 \times 10 = 840$ です。

求める確率は、白球が3個、黒球が2個取り出される組み合わせの数を、すべての組み合わせの数で割ることで得られます。

$P(\text{白3個, 黒2個}) = \frac{840}{2002}$

これを約分します。

$\frac{840}{2002} = \frac{420}{1001} = \frac{60}{143}$

3. 最終的な答え

$\frac{60}{143}$