この問題は、根号（平方根）を含む式の計算です。 問題1：平方根の値を求める問題です。 問題2：根号の中の数をできるだけ小さい自然数にする問題です。 問題3：根号を含む式の計算問題です。 問題4：分母の有理化の問題です。

1. 問題の内容

この問題は、根号（平方根）を含む式の計算です。

問題1：平方根の値を求める問題です。

問題2：根号の中の数をできるだけ小さい自然数にする問題です。

問題3：根号を含む式の計算問題です。

問題4：分母の有理化の問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $\sqrt{25}$ は、2乗すると25になる数を求めるので、$5$ です。

(2) $\sqrt{(-4)^2}$ は、$\sqrt{16}$ と同じなので、$4$ です。

問題2

(1) $\sqrt{12}$ を変形します。$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$ なので、

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{18}$ を変形します。$18 = 9 \times 2 = 3^2 \times 2$ なので、

$\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \times 2} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

問題3

(1) $\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{6 \times 15} = \sqrt{2 \times 3 \times 3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 10} = 3\sqrt{10}$

(2) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{48}{2}} = \sqrt{24}$

$24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6$ なので、

$\sqrt{24} = \sqrt{2^2 \times 6} = 2\sqrt{6}$

(3) $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

(4) $\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} = (1+2)\sqrt{5} + (1-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{5} - \sqrt{3}$

問題4

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 5

(2) 4

問題2

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{2}$

問題3

(1) $3\sqrt{10}$

(2) $2\sqrt{6}$

(3) $7+2\sqrt{10}$

(4) $3\sqrt{5} - \sqrt{3}$

問題4

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$