問題は以下の2つのパートに分かれています。 (1) 図2において、直線gにかがみがあり、y軸に平行な入射光が直線g上の点Pで反射し、y軸と点Hで交わる。直線gの方程式と点Hの座標を求めます。 (2) 図3において、直線lにかがみがあり、y軸に平行な入射光が直線l上の点Qで反射し、y軸と点R(0,2)で交わる。直線lの方程式、反射光を表す直線QRの方程式、点Qのx座標を求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つのパートに分かれています。

(1) 図2において、直線gにかがみがあり、y軸に平行な入射光が直線g上の点Pで反射し、y軸と点Hで交わる。直線gの方程式と点Hの座標を求めます。

(2) 図3において、直線lにかがみがあり、y軸に平行な入射光が直線l上の点Qで反射し、y軸と点R(0,2)で交わる。直線lの方程式、反射光を表す直線QRの方程式、点Qのx座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 図2について

(ア) 直線gの方程式を求める。

直線gは点(3, 0)と(0, -1)を通るので、傾きは$\frac{0-(-1)}{3-0} = \frac{1}{3}$。よって、直線gの方程式は $y = \frac{1}{3}x - 1$。

(イ) 点Hの座標を求める。

点Pは直線g上の点であり、入射光はy軸に平行なので、点Pのx座標は3です。点Pのy座標は$y = \frac{1}{3} \times 3 - 1 = 0$。したがって、点Pの座標は(3, 0)。反射の法則より、入射角と反射角は等しいので、線分HPはx軸に平行。よって点Hのy座標は点Pのy座標と等しく0。点Hはy軸上の点なので、点Hのx座標は0。よって、点Hの座標は(0, 0)。

(2) 図3について

(ア) 直線lの方程式を求める。

直線lは点(-√3, 0)を通るので、直線lの方程式は$y = a(x + \sqrt{3})$。反射点Qにおいて、入射角と反射角は等しい。

直線lの傾きを$\tan\theta$とおくと、入射角は$90^\circ - \theta$。

直線QRの傾きは$\frac{2 - a(x + \sqrt{3})}{0 - x} = \frac{a(x + \sqrt{3}) - 2}{x}$。

反射光の傾きは、入射光に対して2θ回転した角度になる。点R(0,2)から点Qまでの傾きは$m=\tan(2\theta)$。

点Qは直線l上にあるので、$Q(x, y) = (x, a(x+\sqrt{3}))$とおける。

直線RQの傾きは$\frac{a(x+\sqrt{3})-2}{x-0}$となる。

直線lは法線なので$l$ の傾きを$m_1$, 直線$QR$の傾きを$m_2$とおくと、$\tan\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}$

RQの傾きは$\sqrt{3}$。直線lの傾きは$\frac{1}{\sqrt{3}}$。

したがって直線の方程式は$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$。

(イ) 反射光を表す直線QRの方程式を求める。

点R(0,2)を通り、傾きが√3なので、直線QRの方程式は$y = \sqrt{3}x + 2$。

(ウ) 点Qのx座標を求める。

点Qは直線lと直線QRの交点なので、2つの式を連立させる。

$\frac{1}{\sqrt{3}}x + 1 = \sqrt{3}x + 2$

$\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}x = 1$

$\frac{1 - 3}{\sqrt{3}}x = 1$

$-\frac{2}{\sqrt{3}}x = 1$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)(ア) $y = \frac{1}{3}x - 1$

(イ) (0, 0)

(2)(ア) $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$

(イ) $y = \sqrt{3}x + 2$

(ウ) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$