四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC = 16cm, DA = 12cm, CE = DE = 4cm, △EDCの面積 = 6cm² のとき、以下の問いに答える。 (1) △ACDの面積を求める。 (2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEの交点をFとするとき、線分CFの長さを求める。 (3) 四角形ABCDの面積を求める。

## 問題17

1. 問題の内容

四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC = 16cm, DA = 12cm, CE = DE = 4cm, △EDCの面積 = 6cm² のとき、以下の問いに答える。

(1) △ACDの面積を求める。

(2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEの交点をFとするとき、線分CFの長さを求める。

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △EDCと△EABは相似である。相似比はED:EA = 4:(4+12) = 4:16 = 1:4。面積比は相似比の2乗なので、△EDC:△EAB = 1:16。

△EDCの面積は6cm²なので、△EABの面積は6 * 16 = 96cm²。

△EBCの面積は△EAB - △ACD - △EDC = △EAB - △ABC

△EBCの面積は (1/2) * EC * BC = (1/2) * 4 * 16 = 32 cm²

△EACの面積は (4+12)*4/2 + △ACD

△EABの面積= △EBC + △ACD + △EAC

ここで、△EBC: △EAB= (4/16) ** 2=1/16

△ACD = x とおくと、△EAB = 96 = x + 30cm²

△EBCは1/4なので 32/96 = 1/3

△EAB:△EDCの面積比は、相似比の二乗に等しいので4^2=16倍

△ACDと△EABが相似であるから、CD/AB=ED/EA=EC/EB=1/4

面積比：△ECD/△EAB=1/16 → △EAB=6×16=96

△ECD/△EAD=EC/EA=1/4 → △EAD=6×4=24

△ECD/△EBC=DE/AE=1/4 → △EBC=6×4=24

四角形ABCD=96-(6+24)=66 cm²

△EBCの面積は $\frac{1}{2} \times 16 \times h_1 = 32$。△EADの面積は$\frac{1}{2} \times 12 \times h_2 = 24$。

△EABの面積は$\frac{1}{2} \times (16+x) \times (h_1 + h_2 ) = 96$。

△EDCの面積 $S_{EDC} = 6$。$\frac{S_{EDC}}{S_{EAB}} = (\frac{CE}{CB})^2 = (\frac{4}{16+4})^2 = \frac{1}{25}$なので、$S_{EAB} = 6 \times 25 = 150$。

したがって、$S_{ABCD} = S_{EAB} - S_{EDC} - S_{EBC} = 96 - 6 - 24 = 66$。

△EABの面積は96なので、$S_{ABCD} = 96 - 6 - △EAD = △ACB$。

△ACDの面積は、$\frac{AD}{AE} \times \sqrt{\frac{6}{1} }$ で求める。

$\triangle{EDC}$と$\triangle{EAB}$は相似である。

$ED:EA = EC:EB = 4:12 = 1:3$

面積比は$1^2:4^2 = 1:16$

$\triangle{EDC} = 6cm^2$であるから$\triangle{EAB} = 6 \times 16 = 96cm^2$

ここで$\triangle{EAD} = \triangle{EAB} \times \frac{DA}{BA} = \triangle{EAB} \times \frac{12}{4} = 6 \times 4 = 24cm^2$

$\triangle{EBC} = \triangle{EAB} \times \frac{BC}{BA} = \triangle{EAB} \times \frac{16}{4} = 6 \times 4 = 24cm^2$

したがって、四角形ABCDの面積は、$96 - 6 - 24 = 66$

(2) 点Dを通りACに平行な直線を引くと、Eを通りACに平行な直線になる。DFとBEが交わる点をFとする。

線分CFの長さを求める。

3. 最終的な答え

(1) △ACDの面積： 24cm²

(2) CFの長さ:　計算中

(3) 四角形ABCDの面積: 66cm²