平行四辺形ABCDにおいて、AB=6cm, AD=10cm, ∠BAC=90°である。 (1) 対角線ACの長さを求める。 (2) 平行四辺形ABCDの面積を求める。 (3) 線分BC上に点Pをとる。△ABPと平行四辺形ABCDの面積比が1:5になるときの線分BPの長さを求めよ。また、△ABPが二等辺三角形になるときの線分BPの長さをすべて求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AB=6cm, AD=10cm, ∠BAC=90°である。

(1) 対角線ACの長さを求める。

(2) 平行四辺形ABCDの面積を求める。

(3) 線分BC上に点Pをとる。△ABPと平行四辺形ABCDの面積比が1:5になるときの線分BPの長さを求めよ。また、△ABPが二等辺三角形になるときの線分BPの長さをすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABCは∠BAC=90°の直角三角形なので、三平方の定理より

$AC^2 = BC^2 - AB^2$

平行四辺形の性質より、$BC = AD = 10$cmなので、

$AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$AC = \sqrt{64} = 8$cm

(2) 平行四辺形ABCDの面積は、底辺をBC、高さをABとしたときの積で求められる。

面積$= BC \times AB = 10 \times 6 = 60$ $cm^2$

(3) △ABPの面積が平行四辺形ABCDの面積の$\frac{1}{5}$なので、△ABPの面積は、

$\frac{1}{5} \times 60 = 12$ $cm^2$

△ABPの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times BP$で求められるので、

$\frac{1}{2} \times 6 \times BP = 12$

$3BP = 12$

$BP = 4$cm

△ABPが二等辺三角形になる場合を考える。

(i) $AB = BP$のとき、$BP = 6$cm

(ii) $AB = AP$のとき、点AからBCに垂線AHを下ろすと、AH=6cm。

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{6^2-6^2} = 0$ なので存在しない。

(iii) $BP = AP$のとき、点PからABに垂線PIを下ろすと、

$BI = \frac{1}{2}AB = 3$cm

$\triangle BPI$と$\triangle BAC$は相似なので、

$BP:BC = BI:BA$

$BP:10 = 3:6$

$6BP = 30$

$BP = 5$cm

したがって、△ABPが二等辺三角形になるときのBPの長さは、5cmと6cm。

3. 最終的な答え

(1) AC = 8 cm

(2) 平行四辺形ABCDの面積 = 60 $cm^2$

(3) BP = 4 cm, △ABPが二等辺三角形となるときのBPの長さは5 cm, 6 cm