問題1は、ベクトル $\vec{A} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$ と $\vec{B} = -\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$ が与えられたときに、$\vec{A} + \vec{B}$、 $2\vec{A} - 3\vec{B}$、$\vec{A}$の大きさ $|\vec{A}|$、そして$\vec{A}$と同じ向きの単位ベクトル$\hat{A}$を求める問題です。 問題2は、質点の位置ベクトルが時刻 $t$ の関数として $\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$ で与えられたときに、速度、速さ、加速度、初期位置、初期速度を求め、さらに、この質点の軌跡の方程式を求め、0 ≤ t ≤ 2での軌跡を描く問題です。

1. 問題の内容

問題1は、ベクトル $\vec{A} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$ と $\vec{B} = -\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$ が与えられたときに、$\vec{A} + \vec{B}$、 $2\vec{A} - 3\vec{B}$、$\vec{A}$の大きさ $|\vec{A}|$、そして$\vec{A}$と同じ向きの単位ベクトル$\hat{A}$を求める問題です。

問題2は、質点の位置ベクトルが時刻 $t$ の関数として $\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$ で与えられたときに、速度、速さ、加速度、初期位置、初期速度を求め、さらに、この質点の軌跡の方程式を求め、0 ≤ t ≤ 2での軌跡を描く問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $\vec{A} + \vec{B}$:

各成分ごとに足し合わせます。

$\vec{A} + \vec{B} = (3 - 1)\vec{i} + (-1 + 4)\vec{j} + (2 - 1)\vec{k}$

(2) $2\vec{A} - 3\vec{B}$:

$2\vec{A} = 2(3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) = 6\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}$

$3\vec{B} = 3(-\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}) = -3\vec{i} + 12\vec{j} - 3\vec{k}$

$2\vec{A} - 3\vec{B} = (6 - (-3))\vec{i} + (-2 - 12)\vec{j} + (4 - (-3))\vec{k}$

(3) $|\vec{A}|$:

$\vec{A}$の大きさは各成分の二乗和の平方根で計算されます。

$|\vec{A}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$

(4) $\hat{A}$:

$\vec{A}$と同じ向きの単位ベクトルは、$\vec{A}$をその大きさで割ることで求められます。

$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}}{|\vec{A}|}$

問題2:

(1) 速度、速さ、加速度、初期位置、初期速度:

位置ベクトル $\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$ を時間で微分することで速度 $\vec{v}(t)$ が得られます。

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j})$

速度の大きさ（速さ）は $|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ で計算されます。

加速度 $\vec{a}(t)$ は速度を時間で微分することで得られます。

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

初期位置は $t = 0$ のときの位置ベクトル $\vec{r}(0)$ で与えられます。

初期速度は $t = 0$ のときの速度ベクトル $\vec{v}(0)$ で与えられます。

(2) 軌跡の方程式:

$\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$ から $x = t$ および $y = -\frac{1}{2}t^2$ を得ます。 $x$ と $y$ の関係式を求めるために、$t$ を消去します。$t=x$を$y$の式に代入することで、$y=-\frac{1}{2}x^2$が得られます。

0 ≤ t ≤ 2の範囲では、0 ≤ x ≤ 2となります。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\vec{A} + \vec{B} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}$

(2) $2\vec{A} - 3\vec{B} = 9\vec{i} - 14\vec{j} + 7\vec{k}$

(3) $|\vec{A}| = \sqrt{14}$

(4) $\hat{A} = \frac{3}{\sqrt{14}}\vec{i} - \frac{1}{\sqrt{14}}\vec{j} + \frac{2}{\sqrt{14}}\vec{k}$

問題2:

(1) 速度: $\vec{v}(t) = \vec{i} - t\vec{j}$

速さ: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{1 + t^2}$

加速度: $\vec{a}(t) = -\vec{j}$

初期位置: $\vec{r}(0) = 0\vec{i} + 0\vec{j} = \vec{0}$

初期速度: $\vec{v}(0) = \vec{i}$

(2) 軌跡の方程式: $y = -\frac{1}{2}x^2$ (0 ≤ x ≤ 2)