問題1: 質量$M = 1 \text{ kg}$の木片が軽い紐で吊り下げられている。質量$m = 30 \text{ g}$の矢が、速さ$v = 30 \text{ m/s}$で水平に飛んできて木片に刺さった。 a. 刺さった直後の木片と矢の速さを求めよ。 b. 矢の刺さった木片は枝を中心とする円弧上を運動する。最高点の高さを求めよ。 問題2: 質量が小さな物体が、質量の大きな物体に速度$v$で衝突したときは、小さな物体が跳ね返されるが、逆に質量が大きな物体が小さな物体に同じ速度$v$で衝突すると、小さな物体が弾き飛ばされる。作用反作用の法則から、両者の間に働く力は同じなのに、このようになる理由を説明せよ。

1. 問題の内容

問題1: 質量$M = 1 \text{ kg}$の木片が軽い紐で吊り下げられている。質量$m = 30 \text{ g}$の矢が、速さ$v = 30 \text{ m/s}$で水平に飛んできて木片に刺さった。

a. 刺さった直後の木片と矢の速さを求めよ。

b. 矢の刺さった木片は枝を中心とする円弧上を運動する。最高点の高さを求めよ。

問題2: 質量が小さな物体が、質量の大きな物体に速度$v$で衝突したときは、小さな物体が跳ね返されるが、逆に質量が大きな物体が小さな物体に同じ速度$v$で衝突すると、小さな物体が弾き飛ばされる。作用反作用の法則から、両者の間に働く力は同じなのに、このようになる理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

問題1 a:

運動量保存則を適用する。矢が刺さる瞬間、系全体の運動量は保存される。

矢の初めの運動量は$m \cdot v$ であり、木片は静止しているので運動量は0である。刺さった後の木片と矢の速さを$V$とすると、運動量は$(M+m) \cdot V$となる。したがって、

$m \cdot v = (M+m) \cdot V$

$V = \frac{m \cdot v}{M+m}$

問題1 b:

力学的エネルギー保存則を適用する。刺さった直後の運動エネルギーは$KE = \frac{1}{2} (M+m) V^2$である。

最高点では運動エネルギーは0になり、位置エネルギーは$PE = (M+m) \cdot g \cdot h$となる。ただし、$h$は高さの変化、$g$は重力加速度である。

高さ$h$は、紐の長さを$L$とすると、$h = L - L \cos\theta = L(1 - \cos\theta)$と表せる。ただし、$\theta$は紐が鉛直方向となす角度である。

エネルギー保存則より、$KE = PE$なので、

$\frac{1}{2} (M+m) V^2 = (M+m) \cdot g \cdot h$

$h = \frac{V^2}{2g}$

問題2:

作用反作用の法則は、物体間に働く力の大きさが等しく、方向が反対であることを示す。しかし、力の及ぼす影響（加速度）は質量に依存する。

小さな物体が大きな物体に衝突する場合、小さな物体に大きな加速度が生じるため跳ね返される。

逆に、大きな物体が小さな物体に衝突する場合、小さな物体に非常に大きな加速度が生じるため、弾き飛ばされる。

作用反作用の法則から力は同じでも、質量が異なるため、加速度が異なり、結果として運動状態が大きく異なる。

また、運動量保存則の観点からも説明できる。

3. 最終的な答え

問題1 a:

$V = \frac{m \cdot v}{M+m} = \frac{0.03 \text{ kg} \cdot 30 \text{ m/s}}{1 \text{ kg} + 0.03 \text{ kg}} = \frac{0.9}{1.03} \text{ m/s} \approx 0.874 \text{ m/s}$

問題1 b:

$h = \frac{V^2}{2g} = \frac{(0.874 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ m/s}^2} \approx \frac{0.764}{19.6} \text{ m} \approx 0.039 \text{ m} = 3.9 \text{ cm}$

問題2:

作用反作用の法則では、物体間に働く力は等しい。しかし、物体の加速度は質量に反比例するため、質量が小さい物体は大きな加速度を受け、質量が大きい物体は小さな加速度を受ける。そのため、質量が小さい物体が跳ね返されたり、弾き飛ばされたりする。運動量保存則の観点からも説明できる。