$\frac{1}{\sqrt{3}-4} + \frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、答えが分数になる場合は有理化すること。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{3}-4} + \frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、答えが分数になる場合は有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}-4}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}+4$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-4} = \frac{1 \times (\sqrt{3}+4)}{(\sqrt{3}-4) \times (\sqrt{3}+4)} = \frac{\sqrt{3}+4}{(\sqrt{3})^2 - 4^2} = \frac{\sqrt{3}+4}{3-16} = \frac{\sqrt{3}+4}{-13} = -\frac{\sqrt{3}+4}{13}$

次に、$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}-1$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1 \times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \times (\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3}-4} + \frac{1}{\sqrt{3}+1} = -\frac{\sqrt{3}+4}{13} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

通分して計算します。

$-\frac{\sqrt{3}+4}{13} + \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{-2(\sqrt{3}+4) + 13(\sqrt{3}-1)}{26} = \frac{-2\sqrt{3}-8 + 13\sqrt{3}-13}{26} = \frac{11\sqrt{3}-21}{26}$

3. 最終的な答え

$\frac{11\sqrt{3}-21}{26}$