## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

質量 $m = 1$ の質点を、ばね定数 $k = 1$ のばねにつるしたときの運動について、以下の問いに答えます。変位 $x(t)$ はばねの自然長からの鉛直下向きの距離として測ります。

a. 次の3つの場合について、質点の変位 $x(t)$ を求めます。

1. つり合いの位置から $a$ だけ引っ張って、そっと手を離す。

2. つり合いの位置で初速 $v_0$ を与えて振動させる。

3. つり合いの位置で、そっと手を離す。

b. 最初に引っ張る長さを2倍にした場合と、初速を与えて振動させた場合に、周期がどのように変化するかを説明します。

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2. 解き方の手順

**a. 質点の変位 x(t) を求める**

まず、つり合いの位置を求めます。つり合いの位置では、重力とばねの力がつり合います。重力は $mg = 1 \times g = g$ であり、ばねの力は $kx$ です。したがって、つり合いの位置 $x_0$ は $kx_0 = g$ より、

$x_0 = g/k=g$ となります。

変位 $x(t)$ はつり合いの位置からのずれを表すものとすると、$x(t)$ に関する運動方程式は次のようになります。

$m\ddot{x} = -kx$

ここで、$m = 1$、$k = 1$ なので、

$\ddot{x} = -x$

この微分方程式の一般解は、

$x(t) = A\cos(t) + B\sin(t)$

となります。ここで、$A$と$B$は初期条件によって決まる定数です。

(1) つり合いの位置から $a$ だけ引っ張って、そっと手を離す場合

初期条件は、$x(0) = a$、$\dot{x}(0) = 0$ です。

$x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = a$

$\dot{x}(t) = -A\sin(t) + B\cos(t)$

$\dot{x}(0) = -A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0$

したがって、$x(t) = a\cos(t)$.

(2) つり合いの位置で初速 $v_0$ を与えて振動させる場合

初期条件は、$x(0) = 0$、$\dot{x}(0) = v_0$ です。

$x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = 0$

$\dot{x}(t) = -A\sin(t) + B\cos(t)$

$\dot{x}(0) = -A\sin(0) + B\cos(0) = B = v_0$

したがって、$x(t) = v_0\sin(t)$.

(3) つり合いの位置で、そっと手を離す場合

初期条件は、$x(0) = 0$、$\dot{x}(0) = 0$ です。

$x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = 0$

$\dot{x}(t) = -A\sin(t) + B\cos(t)$

$\dot{x}(0) = -A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0$

したがって、$x(t) = 0$.

この場合、質点はつり合いの位置に静止したままです。

**b. 周期の変化について**

単振動の周期 $T$ は、質量 $m$ とばね定数 $k$ によって決まり、次の式で表されます。

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

今回の問題では、$m = 1$、$k = 1$ なので、

$T = 2\pi$

周期は初期条件（引っ張る長さや初速）には依存しません。

したがって、最初に引っ張る長さを2倍にしても、周期は変化しません。また、初速を与えて振動させた場合も、周期は変化しません。

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3. 最終的な答え

a.

1. $x(t) = a\cos(t)$

2. $x(t) = v_0\sin(t)$

3. $x(t) = 0$

b.

最初に引っ張る長さを2倍にしても、周期は1倍(変化しない)。

初速を与えて振動させた場合も、周期は1倍(変化しない)。