質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねに取り付けられ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $A$ だけ引き伸ばして静かに離したとき、以下の量を求め、示せ。 1. 時刻 $t$ における位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねに取り付けられ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $A$ だけ引き伸ばして静かに離したとき、以下の量を求め、示せ。

1. 時刻 $t$ における位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和が保存されること

3. 運動量と力の関係を運動方程式を用いて示すこと

4. 振動の周期と最大速度

2. 解き方の手順

1. 位置、速度、加速度の導出

物体の運動方程式は、

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

この微分方程式の一般解は、

$x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$

ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$である。

初期条件より、$x(0) = A$ かつ $v(0) = 0$。

$x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = A$

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -C_1 \omega \sin(\omega t) + C_2 \omega \cos(\omega t)$

$v(0) = -C_1 \omega \sin(0) + C_2 \omega \cos(0) = C_2 \omega = 0$

したがって、$C_2 = 0$

よって、$x(t) = A \cos(\omega t)$

速度 $v(t)$ は、$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t)$

加速度 $a(t)$ は、$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t) = -\omega^2 x(t)$

2. エネルギー保存の法則

運動エネルギー $K$ は、$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t)$

弾性エネルギー $U$ は、$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$

全エネルギー $E = K + U = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$

ここで、$\omega^2 = \frac{k}{m}$ より、$m \omega^2 = k$

$E = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2} k A^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k A^2$

$E$ は時間によらず一定であるため、エネルギーは保存する。

3. 運動量と力の関係

運動方程式は、$F = ma$ であり、$F = -kx$ でもある。

運動量は $p = mv$ である。

運動方程式は、$F = \frac{dp}{dt}$ とも書ける。

$ma = \frac{d(mv)}{dt} = m \frac{dv}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}$

$F = -kx = m \frac{d^2x}{dt^2}$　よって運動方程式を用いて運動量と力の関係が示せた。

4. 周期と最大速度

周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

最大速度 $v_{max}$ は、$|v(t)| = A \omega |\sin(\omega t)|$ の最大値であるから、

$v_{max} = A \omega = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

3. 最終的な答え

1. 位置: $x(t) = A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

速度: $v(t) = -A \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

加速度: $a(t) = -\frac{k}{m} A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和は $\frac{1}{2} k A^2$ であり、保存される。

3. 運動方程式 $F = ma = -kx$ より、運動量と力の関係が示される。

4. 周期: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

最大速度: $v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$