質量1kgの物体がxy平面上を運動しており、そのポテンシャルエネルギーが $U = x + \frac{1}{2}y^2$ [J]で与えられている。以下の問いに答える： (1) 点(x, y)における力Fおよび原点(0, 0)に関する力FのモーメントNを求める。 (2) Fが点(1, 1)から(2, 2)を結ぶ直線上でした仕事Wを求める。 (3) 質点の運動方程式を求める。 (4) $r = -\frac{1}{2}t^2i + \cos(t)j$ が運動方程式の解の一つであることを示す。 (5) この質点の運動量は保存するか否か、理由とともに答える。 (6) この質点の力学的エネルギーは保存するか否か、理由とともに答える。

1. 問題の内容

質量1kgの物体がxy平面上を運動しており、そのポテンシャルエネルギーが $U = x + \frac{1}{2}y^2$ [J]で与えられている。以下の問いに答える：

(1) 点(x, y)における力Fおよび原点(0, 0)に関する力FのモーメントNを求める。

(2) Fが点(1, 1)から(2, 2)を結ぶ直線上でした仕事Wを求める。

(3) 質点の運動方程式を求める。

(4) $r = -\frac{1}{2}t^2i + \cos(t)j$ が運動方程式の解の一つであることを示す。

(5) この質点の運動量は保存するか否か、理由とともに答える。

(6) この質点の力学的エネルギーは保存するか否か、理由とともに答える。

2. 解き方の手順

(1) 力Fはポテンシャルエネルギーの負の勾配で与えられる。つまり、$F = -\nabla U$。

モーメントNは$N = r \times F$で与えられる。ここでrは原点からの位置ベクトルである。

(2) 力Fが保存力であるため、仕事はポテンシャルエネルギーの差で計算できる。$W = -\Delta U$。

(3) 運動方程式はニュートンの第二法則$F = ma$で与えられる。ここでmは質量、aは加速度である。

(4) 与えられたrを時間で2回微分し加速度を求め、運動方程式に代入して成り立つことを確認する。

(5) 運動量が保存されるためには、外力が作用しないことが必要である。

(6) 力学的エネルギーが保存されるためには、保存力のみが作用することが必要である。

(1) 力Fの計算:

$F = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}i + \frac{\partial U}{\partial y}j)$

$\frac{\partial U}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial U}{\partial y} = y$

よって、$F = -i - yj$

モーメントNの計算:

$r = xi + yj$

$N = r \times F = (xi + yj) \times (-i - yj) = -xy(k) + y(k) = (y - xy)k$

(2) 仕事Wの計算:

$U(1, 1) = 1 + \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{3}{2}$

$U(2, 2) = 2 + \frac{1}{2}(2)^2 = 4$

$W = -(U(2, 2) - U(1, 1)) = - (4 - \frac{3}{2}) = -\frac{5}{2}$

(3) 運動方程式の計算:

$F = ma$

$m = 1$ kg

$a = \frac{d^2r}{dt^2} = \ddot{r}$

運動方程式は $-\frac{d^2r}{dt^2} - i - yj = 0$　または、　$\frac{d^2r}{dt^2} = -i -yj$

(4) rの時間微分:

$r = -\frac{1}{2}t^2i + \cos(t)j$

$\dot{r} = -ti - \sin(t)j$

$\ddot{r} = -i - \cos(t)j$

運動方程式に代入:

$\ddot{r} = -i - \cos(t)j$

$F = -i - yj = -i - \cos(t)j$

$y = \cos(t)$であるので与えられたrは運動方程式を満たす。

(5) 運動量の保存:

力Fが作用しているので、外力が存在するため、運動量は保存しない。

(6) 力学的エネルギーの保存:

力Fはポテンシャルエネルギーで表される保存力のみなので、力学的エネルギーは保存する。

3. 最終的な答え

(1) $F = -i - yj$, $N = (y - xy)k$

(2) $W = -\frac{5}{2}$ J

(3) $\frac{d^2r}{dt^2} = -i -yj$

(4) 与えられたrは運動方程式を満たす。

(5) 運動量は保存しない。理由：外力が作用しているから。

(6) 力学的エネルギーは保存する。理由：保存力のみが作用しているから。