質量$m$の弾丸が速度$v$で静止している質量$M$の木製のブロックに水平に衝突し、一体となって高さ$h$まで振り上がった。以下の問いに答える。 (1) 力学的エネルギーが保存される過程と運動量が保存される過程を答える。 (2) 弾丸がブロックに命中する前の速さ$v$を、$m, M, g, h$を用いて表す。 (3) ある学生が立てたエネルギー保存の式 $\frac{1}{2}mv^2 = (m+M)gh$ に基づく、$v = \sqrt{\frac{2(m+M)gh}{m}}$ という答えの誤りを指摘する。

## 【問3】

1. 問題の内容

質量$m$の弾丸が速度$v$で静止している質量$M$の木製のブロックに水平に衝突し、一体となって高さ$h$まで振り上がった。以下の問いに答える。

(1) 力学的エネルギーが保存される過程と運動量が保存される過程を答える。

(2) 弾丸がブロックに命中する前の速さ$v$を、$m, M, g, h$を用いて表す。

(3) ある学生が立てたエネルギー保存の式 $\frac{1}{2}mv^2 = (m+M)gh$ に基づく、$v = \sqrt{\frac{2(m+M)gh}{m}}$ という答えの誤りを指摘する。

2. 解き方の手順

(1)

* **力学的エネルギーが保存する過程：** 弾丸とブロックが一体となって最高点に達するまでの振り子の運動の過程。この過程では重力のみが仕事をするため、力学的エネルギーが保存される。

* **運動量が保存する過程：** 弾丸がブロックに衝突する瞬間。短時間のうちに衝突が完了すると仮定すれば、外力（重力、糸の張力）の力積は無視できるため、運動量が保存される。

(2)

まず、衝突直後の弾丸とブロックの速度$V$を求める。力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}(m+M)V^2 = (m+M)gh$

$V = \sqrt{2gh}$

次に、衝突前後の運動量保存則を立てる。水平方向の運動量保存則より、

$mv = (m+M)V$

$v = \frac{(m+M)V}{m} = \frac{(m+M)\sqrt{2gh}}{m}$

(3)

学生の解答の誤りは、衝突の際に力学的エネルギーが保存されない点にある。衝突は非弾性衝突であるため、衝突時に熱や音が発生し、力学的エネルギーの一部が失われる。したがって、衝突前の弾丸の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ は、衝突後に一体となった物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和にはならない。

3. 最終的な答え

(1)

* 力学的エネルギーが保存する過程：弾丸とブロックが一体となって最高点に達するまでの振り子の運動の過程

* 運動量が保存する過程：弾丸がブロックに衝突する瞬間

(2)

$v = \frac{(m+M)\sqrt{2gh}}{m}$

(3)

誤りは、衝突の際に力学的エネルギーが保存されない点。衝突は非弾性衝突であるため、衝突時に熱や音が発生し、力学的エネルギーの一部が失われる。