質量3kgの質点が、$xy$平面上を運動しており、時刻$t$における位置ベクトルが与えられています。 (1) 時刻$t$における速度$\vec{v}$、加速度$\vec{a}$、運動量$\vec{p}$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$\vec{L}$、質点に作用する合力$\vec{F}$を求めます。 (2) 時刻$t=1$における速度$\vec{v}$、加速度$\vec{a}$、運動量$\vec{p}$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$\vec{L}$、質点に作用する合力$\vec{F}$を求めます。 (3) 時刻$t=1$から$t=2$までの間に、質点に作用している合力が質点に与えた力積$\vec{I}$と仕事$W$を求めます。

1. 問題の内容

質量3kgの質点が、$xy$平面上を運動しており、時刻$t$における位置ベクトルが与えられています。

(1) 時刻$t$における速度$\vec{v}$、加速度$\vec{a}$、運動量$\vec{p}$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$\vec{L}$、質点に作用する合力$\vec{F}$を求めます。

(2) 時刻$t=1$における速度$\vec{v}$、加速度$\vec{a}$、運動量$\vec{p}$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$\vec{L}$、質点に作用する合力$\vec{F}$を求めます。

(3) 時刻$t=1$から$t=2$までの間に、質点に作用している合力が質点に与えた力積$\vec{I}$と仕事$W$を求めます。

2. 解き方の手順

位置ベクトルは、

$\vec{r} = \sin(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2t \vec{j}$

で与えられています。

(1)

速度$\vec{v}$は、位置ベクトル$\vec{r}$の時間微分です。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} [\sin(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2t \vec{j}] = \frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2 \vec{j}$

加速度$\vec{a}$は、速度$\vec{v}$の時間微分です。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2 \vec{j}] = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \vec{i}$

運動量$\vec{p}$は、質量$m$と速度$\vec{v}$の積です。

$\vec{p} = m\vec{v} = 3(\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2 \vec{j}) = \pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 6 \vec{j}$

運動エネルギー$K$は、$\frac{1}{2}mv^2$で計算できます。

$K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times [(\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2))^2 + (-2)^2] = \frac{3}{2} (\frac{\pi^2}{9}t^2\cos^2(\frac{\pi}{6}t^2) + 4) = \frac{\pi^2}{6}t^2\cos^2(\frac{\pi}{6}t^2) + 6$

角運動量$\vec{L}$は、$\vec{r} \times \vec{p}$で計算できます。

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (\sin(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2t \vec{j}) \times (\pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 6 \vec{j}) = -6\sin(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{k} - (-2t\pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2)) \vec{k} = (2\pi t^2 \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - 6\sin(\frac{\pi}{6}t^2)) \vec{k}$

合力$\vec{F}$は、質量$m$と加速度$\vec{a}$の積です。

$\vec{F} = m\vec{a} = 3[\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \vec{i} = [\pi \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \vec{i}$

(2)

$t=1$を代入します。

$\vec{v} = \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) \vec{i} - 2 \vec{j} = \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{i} - 2 \vec{j} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} \vec{i} - 2 \vec{j}$

$\vec{a} = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})] \vec{i} = [\frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}] \vec{i} = [\frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi^2}{18}] \vec{i}$

$\vec{p} = \pi \cos(\frac{\pi}{6}) \vec{i} - 6 \vec{j} = \pi \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{i} - 6 \vec{j} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \vec{i} - 6 \vec{j}$

$K = \frac{\pi^2}{6}\cos^2(\frac{\pi}{6}) + 6 = \frac{\pi^2}{6} (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 6 = \frac{\pi^2}{6}\frac{3}{4} + 6 = \frac{\pi^2}{8} + 6$

$\vec{L} = (2\pi \cos(\frac{\pi}{6}) - 6\sin(\frac{\pi}{6})) \vec{k} = (2\pi \frac{\sqrt{3}}{2} - 6\frac{1}{2}) \vec{k} = (\sqrt{3}\pi - 3) \vec{k}$

$\vec{F} = [\pi \cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{3}\sin(\frac{\pi}{6})] \vec{i} = [\pi \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{3}\frac{1}{2}] \vec{i} = [\frac{\sqrt{3}\pi}{2} - \frac{\pi^2}{6}] \vec{i}$

(3)

力積$\vec{I}$は、$\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt$で計算できます。または、運動量の変化$\vec{p}(t_2) - \vec{p}(t_1)$で計算できます。

$\vec{p}(1) = \pi \cos(\frac{\pi}{6}) \vec{i} - 6 \vec{j} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \vec{i} - 6 \vec{j}$

$\vec{p}(2) = 2\pi \cos(\frac{4\pi}{6}) \vec{i} - 6 \vec{j} = 2\pi \cos(\frac{2\pi}{3}) \vec{i} - 6 \vec{j} = 2\pi (-\frac{1}{2}) \vec{i} - 6 \vec{j} = -\pi \vec{i} - 6 \vec{j}$

$\vec{I} = \vec{p}(2) - \vec{p}(1) = (-\pi \vec{i} - 6 \vec{j}) - (\frac{\sqrt{3}\pi}{2} \vec{i} - 6 \vec{j}) = (-\pi - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}) \vec{i} = -(\frac{2+\sqrt{3}}{2})\pi \vec{i}$

仕事$W$は、運動エネルギーの変化$K(t_2) - K(t_1)$で計算できます。

$K(1) = \frac{\pi^2}{8} + 6$

$K(2) = \frac{\pi^2}{6} \times 2^2 \times \cos^2(\frac{4\pi}{6}) + 6 = \frac{4\pi^2}{6} \cos^2(\frac{2\pi}{3}) + 6 = \frac{2\pi^2}{3} (-\frac{1}{2})^2 + 6 = \frac{2\pi^2}{3} \frac{1}{4} + 6 = \frac{\pi^2}{6} + 6$

$W = K(2) - K(1) = (\frac{\pi^2}{6} + 6) - (\frac{\pi^2}{8} + 6) = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{4\pi^2 - 3\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{24}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{v} = \frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 2 \vec{j}$

$\vec{a} = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \vec{i}$

$\vec{p} = \pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) \vec{i} - 6 \vec{j}$

$K = \frac{\pi^2}{6}t^2\cos^2(\frac{\pi}{6}t^2) + 6$

$\vec{L} = (2\pi t^2 \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - 6\sin(\frac{\pi}{6}t^2)) \vec{k}$

$\vec{F} = [\pi \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \vec{i}$

(2)

$\vec{v} = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} \vec{i} - 2 \vec{j}$

$\vec{a} = [\frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi^2}{18}] \vec{i}$

$\vec{p} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \vec{i} - 6 \vec{j}$

$K = \frac{\pi^2}{8} + 6$

$\vec{L} = (\sqrt{3}\pi - 3) \vec{k}$

$\vec{F} = [\frac{\sqrt{3}\pi}{2} - \frac{\pi^2}{6}] \vec{i}$

(3)

$\vec{I} = -(\frac{2+\sqrt{3}}{2})\pi \vec{i}$

$W = \frac{\pi^2}{24}$