質量3kgの質点の位置ベクトルが$r = \sin(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2t j$で与えられている。この質点について、時刻tにおける速度$v$、加速度$a$、運動量$p$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$L$、および質点に作用する合力$F$を求めよ。さらに、時刻$t=1$における速度、加速度、運動量、運動エネルギー、角運動量、合力を求めよ。最後に、時刻$t=1$から$t=2$の間に、この質点に作用している合力が質点に与えた力積$I$と仕事$W$を求めよ。

## 力学入門 試験対策問題

### 問1

1. **問題の内容**

質量3kgの質点の位置ベクトルが$r = \sin(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2t j$で与えられている。この質点について、時刻tにおける速度$v$、加速度$a$、運動量$p$、運動エネルギー$K$、原点に関する角運動量$L$、および質点に作用する合力$F$を求めよ。さらに、時刻$t=1$における速度、加速度、運動量、運動エネルギー、角運動量、合力を求めよ。最後に、時刻$t=1$から$t=2$の間に、この質点に作用している合力が質点に与えた力積$I$と仕事$W$を求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) 時刻tにおける物理量

* 速度$v$: 位置ベクトル$r$を時間tで微分する。

$v = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2t j) = \frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2 j$

* 加速度$a$: 速度$v$を時間tで微分する。

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2 j) = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i$

* 運動量$p$: 質量mに速度vをかける。ただし$m = 3$ kg

$p = m v = 3(\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2 j) = \pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 6 j$

* 運動エネルギー$K$: $\frac{1}{2}mv^2$で計算する。

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(3)[(\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2))^2 + (-2)^2] = \frac{3}{2}[\frac{\pi^2}{9}t^2\cos^2(\frac{\pi}{6}t^2) + 4]$

* 角運動量$L$: $r \times p$で計算する。

$L = r \times p = (\sin(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2t j) \times (\pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 6 j) = -6\sin(\frac{\pi}{6}t^2) k - (-2t\pi t \cos(\frac{\pi}{6}t^2)) k = (2\pi t^2 \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - 6 \sin(\frac{\pi}{6}t^2)) k$

* 合力$F$: 質量mに加速度aをかける。

$F = m a = 3[\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i = [\pi\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i$

(2) 時刻t=1における物理量

(1)で求めた式に$t=1$を代入する。

* 速度$v(1) = \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) i - 2 j = \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} i - 2 j = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} i - 2 j$

* 加速度$a(1) = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})] i = [\frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}] i = (\frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi^2}{18}) i$

* 運動量$p(1) = \pi \cos(\frac{\pi}{6}) i - 6 j = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} i - 6 j$

* 運動エネルギー$K(1) = \frac{3}{2}[\frac{\pi^2}{9}\cos^2(\frac{\pi}{6}) + 4] = \frac{3}{2}[\frac{\pi^2}{9}\frac{3}{4} + 4] = \frac{\pi^2}{8} + 6$

* 角運動量$L(1) = (2\pi \cos(\frac{\pi}{6}) - 6 \sin(\frac{\pi}{6})) k = (2\pi \frac{\sqrt{3}}{2} - 6 \frac{1}{2}) k = (\sqrt{3}\pi - 3) k$

* 合力$F(1) = [\pi\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{3}\sin(\frac{\pi}{6})] i = [\pi \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{3} \frac{1}{2}] i = (\frac{\sqrt{3}\pi}{2} - \frac{\pi^2}{6}) i$

(3) 時刻$t=1$から$t=2$の間の力積$I$と仕事$W$

* 力積$I = \int_{1}^{2} F dt = \int_{1}^{2} (\pi \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2 \sin(\frac{\pi}{6}t^2)) i dt$

$\int \pi \cos(\frac{\pi}{6}t^2) dt$と$\int -\frac{\pi^2}{3}t^2 \sin(\frac{\pi}{6}t^2) dt$は簡単には積分できない。

力積の定義から運動量の変化量に等しい。

$I = p(2) - p(1) = (2\pi \cos(\frac{2\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}) i - (6 - 6) j = (-\pi - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}) i$

* 仕事$W = \int_{1}^{2} F \cdot v dt = \int_{1}^{2} [\pi\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i \cdot [\frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2 j] dt = \int_{1}^{2} [\pi\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] \frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) dt$

これも簡単には積分できない。運動エネルギーの変化量に等しい。

$W = K(2) - K(1) = [\frac{\pi^2}{8}(2^2) + 6] - [\frac{\pi^2}{8} + 6] = \frac{4\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{3\pi^2}{8}$

3. **最終的な答え**

(1)

* 速度: $v = \frac{\pi}{3}t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 2 j$

* 加速度: $a = [\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{9}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i$

* 運動量: $p = \pi t\cos(\frac{\pi}{6}t^2) i - 6 j$

* 運動エネルギー: $K = \frac{3}{2}[\frac{\pi^2}{9}t^2\cos^2(\frac{\pi}{6}t^2) + 4]$

* 角運動量: $L = (2\pi t^2 \cos(\frac{\pi}{6}t^2) - 6 \sin(\frac{\pi}{6}t^2)) k$

* 合力: $F = [\pi\cos(\frac{\pi}{6}t^2) - \frac{\pi^2}{3}t^2\sin(\frac{\pi}{6}t^2)] i$

(2)

* 速度: $v(1) = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} i - 2 j$

* 加速度: $a(1) = (\frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi^2}{18}) i$

* 運動量: $p(1) = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} i - 6 j$

* 運動エネルギー: $K(1) = \frac{\pi^2}{8} + 6$

* 角運動量: $L(1) = (\sqrt{3}\pi - 3) k$

* 合力: $F(1) = (\frac{\sqrt{3}\pi}{2} - \frac{\pi^2}{6}) i$

(3)

* 力積: $I = (-\pi - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}) i$

* 仕事: $W = \frac{3\pi^2}{8}$

### 問3

1. **問題の内容**

ひもで吊るされた木製のブロックに弾丸を水平方向に打ち込む。弾丸とブロックは一体となって高さ$h$まで振れる。弾丸の質量$m$、ブロックの質量$M$、衝突後の速度$V$、重力加速度$g$として、以下の問いに答えよ。

(1) 力学的エネルギーと運動量が保存する過程を答えよ。

(2) 弾丸の速度$v$を$m, M, g, h$で表せ。

(3) 学生の解答の誤りを指摘する。

2. **解き方の手順**

(1) 保存則

* 力学的エネルギー保存: 弾丸とブロックが一体となって振れている過程。

* 運動量保存: 弾丸がブロックに衝突する瞬間。

(2) 弾丸の速度

運動量保存則より、

$mv = (m+M)V$

よって $V = \frac{mv}{m+M}$

一体となった弾丸とブロックが高さ$h$まで振れる時、力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}(m+M)V^2 = (m+M)gh$

$V^2 = 2gh$

$V = \sqrt{2gh}$

これらを連立して$v$を求めると、

$\frac{mv}{m+M} = \sqrt{2gh}$

$v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

(3) 学生の解答の誤り

学生の解答では、衝突の瞬間から力学的エネルギー保存則を適用している点が誤りである。衝突の瞬間は非弾性衝突であるため、力学的エネルギーは保存しない。運動エネルギーの一部が熱エネルギーや音エネルギーなどに変換される。したがって、$1/2 mv^2 = (m+M)gh$ は成立しない。

3. **最終的な答え**

(1)

* 力学的エネルギー保存：弾丸とブロックが一体となって振れている過程

* 運動量保存：弾丸がブロックに衝突する瞬間

(2)

$v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

(3)

衝突の瞬間は非弾性衝突であり、力学的エネルギーは保存しないため、力学的エネルギー保存則を用いることはできない。