1から11までの整数が書かれた11枚のカードから5枚を同時に取り出す。 (i) 偶数のカードが1枚、奇数のカードが4枚となる取り出し方の総数を求める。 (ii) 偶数のカードが2枚、奇数のカードが3枚となる取り出し方の総数を求める。 (iii) 5枚のカードに書かれた数の積が偶数となる取り出し方の総数を求める。

1. 問題の内容

1から11までの整数が書かれた11枚のカードから5枚を同時に取り出す。

(i) 偶数のカードが1枚、奇数のカードが4枚となる取り出し方の総数を求める。

(ii) 偶数のカードが2枚、奇数のカードが3枚となる取り出し方の総数を求める。

(iii) 5枚のカードに書かれた数の積が偶数となる取り出し方の総数を求める。

2. 解き方の手順

まず、1から11までの整数に含まれる偶数と奇数の数を数える。

偶数は2, 4, 6, 8, 10の5個、奇数は1, 3, 5, 7, 9, 11の6個である。

(i) 偶数のカードが1枚、奇数のカードが4枚となる取り出し方

偶数5枚から1枚を選ぶ組み合わせの数は $_5C_1$通り。

奇数6枚から4枚を選ぶ組み合わせの数は $_6C_4$通り。

したがって、取り出し方の総数は $_5C_1 \times _6C_4$である。

$_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 5$

$_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

よって、$_5C_1 \times _6C_4 = 5 \times 15 = 75$通り。

(ii) 偶数のカードが2枚、奇数のカードが3枚となる取り出し方

偶数5枚から2枚を選ぶ組み合わせの数は $_5C_2$通り。

奇数6枚から3枚を選ぶ組み合わせの数は $_6C_3$通り。

したがって、取り出し方の総数は $_5C_2 \times _6C_3$である。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

よって、$_5C_2 \times _6C_3 = 10 \times 20 = 200$通り。

(iii) 5枚のカードに書かれた数の積が偶数となる取り出し方

積が偶数となるのは、少なくとも1枚偶数のカードが含まれる場合である。

全体の取り出し方から、5枚とも奇数のカードを取り出す場合を除けばよい。

全体の取り出し方は、11枚から5枚を選ぶので $_{11}C_5$通り。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

5枚とも奇数のカードを取り出すのは、奇数6枚から5枚を選ぶので $_6C_5$通り。

$_6C_5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 6$

したがって、積が偶数となる取り出し方は、全体の取り出し方から5枚とも奇数のカードを取り出す場合を除いた $462 - 6 = 456$通り。

3. 最終的な答え

(i) 75通り

(ii) 200通り

(iii) 456通り