さいころを6回投げ、3以上の目が出たら+2、2以下の目が出たら-1移動する点Pについて、以下の確率を求めます。 (1) 点Pが原点Oに戻ってくる確率 (2) 点Pが点A（座標3）にくる確率

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**問題78**

1. 問題の内容

さいころを6回投げ、3以上の目が出たら+2、2以下の目が出たら-1移動する点Pについて、以下の確率を求めます。

(1) 点Pが原点Oに戻ってくる確率

(2) 点Pが点A（座標3）にくる確率

2. 解き方の手順

(1) 原点に戻る場合

3以上の目が$x$回、2以下の目が$y$回出るとすると、

$x+y = 6$ (試行回数)

$2x - y = 0$ (原点に戻る条件)

これを解くと、$3x = 6$なので、$x=2$、$y=4$となります。

したがって、6回のうち3以上の目が2回、2以下の目が4回出ればよいので、確率は以下のようになります。

サイコロの目が3以上になる確率を$p$とすると、$p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

サイコロの目が2以下になる確率を$q$とすると、$q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

よって、求める確率は、

$_{6}C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{4} = \frac{6!}{2!4!} \times \frac{2^{2}}{3^{6}} = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(2) 点A（座標3）にくる場合

3以上の目が$x$回、2以下の目が$y$回出るとすると、

$x+y = 6$

$2x - y = 3$

これを解くと、$3x = 9$なので、$x=3$、$y=3$となります。

したがって、6回のうち3以上の目が3回、2以下の目が3回出ればよいので、確率は以下のようになります。

$_{6}C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{3} = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{2^{3}}{3^{6}} = 20 \times \frac{8}{729} = \frac{160}{729}$

3. 最終的な答え

(1) 原点に戻ってくる確率：$\frac{20}{243}$

(2) 点Aにくる確率：$\frac{160}{729}$