複素数 $\left(\frac{1-j\sqrt{3}}{2-j2}\right)^6$ を極表示を用いて計算し、結果を極表示と直交表示で表す。

1. 問題の内容

複素数 $\left(\frac{1-j\sqrt{3}}{2-j2}\right)^6$ を極表示を用いて計算し、結果を極表示と直交表示で表す。

2. 解き方の手順

まず、各複素数を極表示に変換します。

$1-j\sqrt{3}$ の絶対値は $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ で、偏角は $\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$。

よって、$1-j\sqrt{3} = 2e^{-j\frac{\pi}{3}}$。

次に、$2-j2$ の絶対値は $\sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ で、偏角は $\arctan\left(\frac{-2}{2}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$。

よって、$2-j2 = 2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}$。

したがって、

$\frac{1-j\sqrt{3}}{2-j2} = \frac{2e^{-j\frac{\pi}{3}}}{2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{3} - (-j\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{3} + j\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{12}}$。

求める複素数は

$\left(\frac{1-j\sqrt{3}}{2-j2}\right)^6 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{12}}\right)^6 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 \left(e^{-j\frac{\pi}{12}}\right)^6 = \frac{1}{2^3} e^{-j\frac{6\pi}{12}} = \frac{1}{8}e^{-j\frac{\pi}{2}}$。

極表示は $\frac{1}{8}e^{-j\frac{\pi}{2}}$。

直交表示は $\frac{1}{8}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + j\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{1}{8}(0 - j) = -\frac{j}{8}$。

3. 最終的な答え

極表示: $\frac{1}{8}e^{-j\frac{\pi}{2}}$

直交表示: $-\frac{j}{8}$