関数 $f(x) = 2x^2 - 3x$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の $x=1$ から $x=3$ までの平均変化率を求めます。 (2) $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めます。 (3) 関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(1, -1)$ における接線の傾きを求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 3x$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の $x=1$ から $x=3$ までの平均変化率を求めます。

(2) $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義に従って求めます。

(3) 関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(1, -1)$ における接線の傾きを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で求められます。この場合、$a=1$、$b=3$ なので、まず $f(1)$ と $f(3)$ を計算します。

$f(1) = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1$

$f(3) = 2(3)^2 - 3(3) = 18 - 9 = 9$

したがって、平均変化率は

$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9 - (-1)}{3-1} = \frac{10}{2} = 5$

(2) 微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$f(a+h) = 2(a+h)^2 - 3(a+h) = 2(a^2 + 2ah + h^2) - 3a - 3h = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 3a - 3h$

$f(a) = 2a^2 - 3a$

$f(a+h) - f(a) = (2a^2 + 4ah + 2h^2 - 3a - 3h) - (2a^2 - 3a) = 4ah + 2h^2 - 3h$

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{4ah + 2h^2 - 3h}{h} = 4a + 2h - 3$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h - 3) = 4a - 3$

(3) 点 $(1, -1)$ における接線の傾きは、微分係数 $f'(1)$ で求められます。

(2)で求めた $f'(a) = 4a - 3$ に $a=1$ を代入すると、

$f'(1) = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率: 5

(2) 微分係数 $f'(a)$: $4a - 3$

(3) 接線の傾き: 1