次の3つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $x^2 e^x$ (2) $e^x \cos x$ (3) $x^2 \sin x$

1. 問題の内容

次の3つの関数の不定積分を求める問題です。

(1) $x^2 e^x$

(2) $e^x \cos x$

(3) $x^2 \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 e^x$ の不定積分

部分積分を2回繰り返します。

まず、$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$ なので、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

次に、$\int 2x e^x dx$ を部分積分します。$u = 2x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = e^x$ なので、

$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x + C_1$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C$

(2) $e^x \cos x$ の不定積分

部分積分を2回繰り返します。

まず、$u = e^x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = e^x dx$, $v = \sin x$ なので、

$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$

次に、$\int e^x \sin x dx$ を部分積分します。$u = e^x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = e^x dx$, $v = -\cos x$ なので、

$\int e^x \sin x dx = -e^x \cos x - \int e^x (-\cos x) dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$

したがって、

$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x dx) = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x dx$

$2 \int e^x \cos x dx = e^x \sin x + e^x \cos x + C_1$

$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} (e^x \sin x + e^x \cos x) + C$

(3) $x^2 \sin x$ の不定積分

部分積分を2回繰り返します。

まず、$u = x^2$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$ なので、

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int 2x (-\cos x) dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx$

次に、$\int 2x \cos x dx$ を部分積分します。$u = 2x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = \sin x$ なので、

$\int 2x \cos x dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C_1$

したがって、

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + (2x \sin x + 2 \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^2 e^x dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C$

(2) $\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

(3) $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$