実数 $x$ に対し、無限級数 $x + \frac{x}{1-x} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^3} + \cdots + \frac{x}{(1-x)^{n-1}} + \cdots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対し、無限級数

$x + \frac{x}{1-x} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^3} + \cdots + \frac{x}{(1-x)^{n-1}} + \cdots$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1-x}$ の等比級数である。

等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことである。つまり、

$|\frac{1}{1-x}| < 1$

$|1-x| > 1$

これを解くと、

$1-x > 1$ または $1-x < -1$

$-x > 0$ または $-x < -2$

$x < 0$ または $x > 2$

次に、収束する場合の極限値を求める。等比級数の和の公式は、

$S = \frac{a}{1-r}$

ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。今回の場合は、$a = x$、$r = \frac{1}{1-x}$ なので、

$S = \frac{x}{1 - \frac{1}{1-x}}$

$S = \frac{x}{\frac{1-x-1}{1-x}}$

$S = \frac{x}{\frac{-x}{1-x}}$

$S = \frac{x(1-x)}{-x}$

$S = -(1-x) = x-1$

3. 最終的な答え

無限級数が収束する $x$ の範囲は、$x < 0$ または $x > 2$ である。

このときの極限値は、$x - 1$ である。