次の無限等比級数の和を求めます。 $5 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 5 \cdot (\frac{2}{3})^3 + \dots + 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} + \dots$

1. 問題の内容

次の無限等比級数の和を求めます。

$5 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 5 \cdot (\frac{2}{3})^3 + \dots + 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} + \dots$

2. 解き方の手順

この無限等比級数は、初項 $a=5$、公比 $r=\frac{2}{3}$ の等比数列の和です。

無限等比級数の和は、公比の絶対値 $|r|$ が 1 より小さいときに収束し、その和は次の公式で求められます。

$S = \frac{a}{1-r}$

この問題では、$a=5$、$r=\frac{2}{3}$ であり、$|\frac{2}{3}| < 1$ なので、無限等比級数は収束します。

したがって、和は次のようになります。

$S = \frac{5}{1-\frac{2}{3}} = \frac{5}{\frac{1}{3}} = 5 \cdot 3 = 15$

3. 最終的な答え

15