以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2-3x+1}+x$の極限を求めるために、まず有理化を行います。つまり、$\sqrt{x^2-3x+1}-x$を分子と分母にかけます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)(\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)(\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x) = (x^2 - 3x + 1) - x^2 = -3x + 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x}$

分子と分母を$x$で割ります。分母の$\sqrt{x^2 - 3x + 1}$の中にある$x^2$で割るときは$\sqrt{x^2}$の外に$x$として出します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{-3}{\sqrt{1} - 1} = \frac{-3}{0}$

この極限は発散しますが、分母が$\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1$なので、$x$が大きくなるにつれて負の方向から0に近づきます。したがって、極限は$-\infty$に発散します。

3. 最終的な答え

$-\infty$