無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n}$ の和を求める。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を整理し、等比級数の形に変形する。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 6 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 6 \cdot \frac{2^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{3} \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

これは初項 $a=2$、公比 $r=\frac{2}{3}$ の等比級数である。

$|r| = \frac{2}{3} < 1$ であるため、この無限等比級数は収束する。

無限等比級数の和は $\frac{a}{1-r}$ で計算できる。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{2}{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 3 = 6$

3. 最終的な答え

6