問題は、以下の2つの定積分を計算することです。 (1) $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - 2x + 1}$ (2) $\int_{1}^{3} (2x - 3)^4 dx$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの定積分を計算することです。

(1) $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - 2x + 1}$

(2) $\int_{1}^{3} (2x - 3)^4 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - 2x + 1}$

まず、積分の中の式を整理します。

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{2}^{3} \frac{dx}{(x - 1)^2}$

$u = x - 1$ と置換すると、$du = dx$。

$x = 2$ のとき $u = 1$ で、$x = 3$ のとき $u = 2$。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} \frac{du}{u^2} = \int_{1}^{2} u^{-2} du$

積分を実行します。

$\int_{1}^{2} u^{-2} du = [-u^{-1}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{u}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(2) $\int_{1}^{3} (2x - 3)^4 dx$

$u = 2x - 3$ と置換すると、$du = 2 dx$, したがって $dx = \frac{1}{2} du$。

$x = 1$ のとき $u = 2(1) - 3 = -1$ で、$x = 3$ のとき $u = 2(3) - 3 = 3$。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{3} u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{3} u^4 du$

積分を実行します。

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{3} u^4 du = \frac{1}{2} [\frac{u^5}{5}]_{-1}^{3} = \frac{1}{2} (\frac{3^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{243}{5} + \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{244}{5}) = \frac{122}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{122}{5}$