与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列の行列式を計算するには、行または列に関する余因子展開を使用できます。この場合、多くの0を含む行または列を選択すると、計算が簡単になります。

1. 1行目について余因子展開します。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} + 0 \cdot C_{15} = C_{14}$

ここで、$C_{14}$ は (1,4) 成分の余因子です。

2. $C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14}$ を計算します。$M_{14}$は (1,4) 成分を取り除いた小行列の行列式です。

$M_{14} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

$C_{14} = (-1)^5 M_{14} = -M_{14}$

3. $M_{14}$の行列式を計算します。1行目について展開します。

$M_{14} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

4. 残りの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot (0 - 0) - 1 \cdot (0 - 1) + 0 \cdot (0 - 0) = 1$

5. したがって、$M_{14} = 1$ となり、$C_{14} = -1$ となります。

6. 元の行列式は $C_{14} = -1$ です。

3. 最終的な答え

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