空欄に当てはまる最も適切な選択肢を選ぶ問題です。具体的には、以下の9つの問題があります。 (1) $(\frac{3}{2} \times 2^1 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = \boxed{1}$ (2) $log_{18}18 - log_{18}72 = \boxed{2}$ (3) $log_x \frac{1}{8} = -\frac{1}{2}$ の時、$x = \boxed{3}$ (4) $x = \frac{3}{\sqrt{8}}$ の時、$x = \boxed{4}$ (5) $e^{2x} = 2$ の時、$x = \boxed{5}$ (6) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の時、$f'(1) = \boxed{6}$ (7) $f(x) = x^2lnx$ の時、$f'(1) = \boxed{7}$ (8) $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の時、$f'(1) = \boxed{8}$ (9) $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$ の時、$f'(1) = \boxed{9}$

1. 問題の内容

空欄に当てはまる最も適切な選択肢を選ぶ問題です。具体的には、以下の9つの問題があります。

(1) $(\frac{3}{2} \times 2^1 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = \boxed{1}$

(2) $log_{18}18 - log_{18}72 = \boxed{2}$

(3) $log_x \frac{1}{8} = -\frac{1}{2}$ の時、$x = \boxed{3}$

(4) $x = \frac{3}{\sqrt{8}}$ の時、$x = \boxed{4}$

(5) $e^{2x} = 2$ の時、$x = \boxed{5}$

(6) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の時、$f'(1) = \boxed{6}$

(7) $f(x) = x^2lnx$ の時、$f'(1) = \boxed{7}$

(8) $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の時、$f'(1) = \boxed{8}$

(9) $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$ の時、$f'(1) = \boxed{9}$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{3}{2} \times 2^1 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = (3 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = (\frac{19}{6})^{\frac{6}{7}}$. 選択肢に該当するものがないので、計算を見直します。$(\frac{3}{2} \times 2^1 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = (3 + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}} = (\frac{19}{6})^{\frac{6}{7}}$　問題文に間違いがある気がします。正しくは$(\frac{3}{2} \times 2^{-1} + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}}= (\frac{3}{4} + \frac{1}{6})^{\frac{6}{7}}= (\frac{9+2}{12})^{\frac{6}{7}} = (\frac{11}{12})^{\frac{6}{7}}$. 選択肢に該当するものがないので、さらに計算を見直します。($\frac{3}{2}*2^1+\frac{1}{6})^{6/7} = (\frac{18+1}{6})^{6/7} = (\frac{19}{6})^{6/7}$.

(2) $log_{18}18 - log_{18}72 = log_{18}(\frac{18}{72}) = log_{18}(\frac{1}{4}) = log_{18}(4^{-1}) = -log_{18}4$.

$log_{18}4 = log_{18}2^2 = 2log_{18}2$.

$18 = 2 \times 3^2$.

$log_{18}(18) = log_{18}(2) + log_{18}(3^2) = log_{18}(2) + 2log_{18}(3) = 1$.

$log_{18}4 = log_{18}2^2 = 2log_{18}2 = 2log_{18}(\frac{18}{9}) = 2log_{18}18 - 2log_{18}9 = 2-2log_{18}9 = -2log_{18}3 = \frac{-2}{2} = -1$. 答え: -2/3。 選択肢は⑧

(3) $log_x \frac{1}{8} = -\frac{1}{2}$. $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}$. $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{8}$. $\sqrt{x} = 8$. $x = 64$. 選択肢は存在しない。

(4) $x = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$. 選択肢は存在しない。

(5) $e^{2x} = 2$. $2x = ln2$. $x = \frac{ln2}{2} = ln\sqrt{2}$. 選択肢は①

(6) $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$. $f'(x) = 2 \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. $f'(1) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$. 選択肢は②

(7) $f(x) = x^2lnx$. $f'(x) = 2xlnx + x^2 \times \frac{1}{x} = 2xlnx + x$. $f'(1) = 2 \times 1 \times ln1 + 1 = 2 \times 0 + 1 = 1$. 選択肢は②

(8) $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$. $f'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x - 1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$. $f'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. 選択肢は⑨

(9) $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$. $f'(x) = x^2 - \frac{1}{x^2}$. $f'(1) = 1^2 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0$. 選択肢は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 該当なし

(2) ⑧

(3) 該当なし

(4) 該当なし

(5) ①

(6) ②

(7) ②

(8) ⑨

(9) 該当なし