$a, b$ をパラメータとする連立方程式 $x - ay = a$ $bx - y = 2$ を考える。$ab = 1$ のとき、この連立方程式がどのような解を持つかを問う問題。選択肢は「一意の解を持つ」のみが与えられている。

1. 問題の内容

$a, b$ をパラメータとする連立方程式

$x - ay = a$

$bx - y = 2$

を考える。$ab = 1$ のとき、この連立方程式がどのような解を持つかを問う問題。選択肢は「一意の解を持つ」のみが与えられている。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を解く。

$x - ay = a$ (1)

$bx - y = 2$ (2)

(1)式より $x = a + ay$ となる。これを(2)式に代入すると、

$b(a + ay) - y = 2$

$ab + aby - y = 2$

$ab + (ab - 1)y = 2$

ここで、$ab = 1$ という条件を使うと、

$1 + (1 - 1)y = 2$

$1 + 0 \cdot y = 2$

$1 = 2$

これは矛盾である。したがって、$ab = 1$ のとき、この連立方程式は解を持たない。与えられた選択肢に「解を持たない」がないため、問題に誤りがある可能性がある。ただし、問題文には「空欄に当てはまる最も適切なもの」を選ぶように指示があるので、最も近いものを選択する必要がある。

もし選択肢に「解なし」または「解を持たない」という選択肢があれば、それが正解になる。選択肢に一意の解を持つというものしかない場合は、連立方程式が解を持つ条件を検討する必要がある。

連立方程式が解を持つ条件は、係数行列の行列式が0でないことである。

係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -a \\ b & -1 \end{pmatrix}$

であり、その行列式は

$1 \cdot (-1) - (-a) \cdot b = -1 + ab$

となる。この行列式が0でない、つまり $-1 + ab \neq 0$ のとき、すなわち $ab \neq 1$ のときに、連立方程式は一意の解を持つ。

問題文の条件は $ab = 1$ なので、この条件では一意の解を持たない。

しかし、与えられた選択肢は「一意の解を持つ」のみである。

問題に誤りがある可能性が高いが、与えられた選択肢の中から選ぶ必要がある。

もし「一意の解を持つ」以外の選択肢がない場合、問題の意図としては連立方程式の係数行列式が0になる場合、つまり解が存在しない、あるいは不定解になる場合を理解しているかを問うていると考えられる。

$ab=1$のとき連立方程式は解を持たないので、一意解を持つことはない。したがって選択肢にある「一意解を持つ」は誤りである。

考えられるのは問題の誤記であり、「一意解を持つ」を「解を持たない」と読み替えることによって問題として成立する。

あるいは連立方程式が解を持たないことを示すことが問題の意図であるとも考えられる。

いずれにしても、与えられた条件では連立方程式は一意解を持たない。

3. 最終的な答え

与えられた選択肢が「一意の解を持つ」のみであり、$ab = 1$ の条件下では連立方程式は一意の解を持たないため、この選択肢は適切ではない。しかし、問題文の指示に従い、もしこの選択肢しかない場合は、**適切ではない**と答えるしかない。ここでは、問題の意図を汲み取り、「一意の解を持つ」という選択肢が適切ではないことを示す。

したがって、空欄に当てはまる選択肢は（与えられた選択肢の中には）**存在しない**。