定数 $c$ は $-1 < c < 1$ を満たすとする。すべての実数 $x$ に対して、$f(x) + f(cx) = x^2$ を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $c$ は $-1 < c < 1$ を満たすとする。すべての実数 $x$ に対して、$f(x) + f(cx) = x^2$ を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関係式 $f(x) + f(cx) = x^2$ を (1) とおく。

この式で、$x$ を $cx$ で置き換えると、

$f(cx) + f(c^2x) = (cx)^2 = c^2x^2$ となる。これを (2) とおく。

同様に、$x$ を $c^2x$ で置き換えると、

$f(c^2x) + f(c^3x) = (c^2x)^2 = c^4x^2$ となる。これを (3) とおく。

一般に、$x$ を $c^n x$ で置き換えると、

$f(c^n x) + f(c^{n+1} x) = (c^n x)^2 = c^{2n} x^2$ となる。これを (n+1) とおく。

(1) - (2) + (3) - (4) + ... と交互に足し引きすると、

$f(x) + f(cx) - f(cx) - f(c^2x) + f(c^2x) + f(c^3x) - ... = x^2 - c^2x^2 + c^4x^2 - c^6x^2 + ...$

左辺は $f(x) + \lim_{n \to \infty} f(c^n x)$ となる。$f$ は連続関数であり、$-1 < c < 1$ より $\lim_{n \to \infty} c^n x = 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} f(c^n x) = f(0)$ となる。

(1)に$x=0$を代入すると、$f(0)+f(0)=0$より、$f(0)=0$である。したがって、左辺は$f(x)$となる。

右辺は初項 $x^2$、公比 $-c^2$ の無限等比級数である。$-1 < c < 1$ より $-1 < -c^2 < 0$ であるから、この無限等比級数は収束し、その和は $\frac{x^2}{1-(-c^2)} = \frac{x^2}{1+c^2}$ となる。

よって、$f(x) = \frac{x^2}{1+c^2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{x^2}{1+c^2}$