二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、以下の問いに答える。選択肢から適切なものを選ぶ。 * $a > 2$ のとき、最小値は [17] となる。 * $a < -2$ のとき、最小値は [18] となる。 * $-2 < a < 2$ のとき、最小値は [19] となる。 * $a > 0$ のとき、最大値は [20] となる。 選択肢は以下の通り。 (1) 0 (2) 4 (3) $4 + \frac{a^2}{2}$ (4) $4 - \frac{a^2}{2}$ (5) $6 + 2a$ (6) $6 - 2a$

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、以下の問いに答える。選択肢から適切なものを選ぶ。

* $a > 2$ のとき、最小値は [17] となる。

* $a < -2$ のとき、最小値は [18] となる。

* $-2 < a < 2$ のとき、最小値は [19] となる。

* $a > 0$ のとき、最大値は [20] となる。

選択肢は以下の通り。

(1) 0

(2) 4

(3) $4 + \frac{a^2}{2}$

(4) $4 - \frac{a^2}{2}$

(5) $6 + 2a$

(6) $6 - 2a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$f(x) = 2x^2 + 2ax + 4 = 2(x^2 + ax) + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ である。

* $a > 2$ のとき、$-\frac{a}{2} < -1$ なので、定義域 $-1 \le x \le 1$ において、最小値は $x = -1$ のとき。

$f(-1) = 2(-1)^2 + 2a(-1) + 4 = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$. したがって、[17]は (6) $6 - 2a$

* $a < -2$ のとき、$-\frac{a}{2} > 1$ なので、定義域 $-1 \le x \le 1$ において、最小値は $x = 1$ のとき。

$f(1) = 2(1)^2 + 2a(1) + 4 = 2 + 2a + 4 = 6 + 2a$. したがって、[18]は (5) $6 + 2a$

* $-2 < a < 2$ のとき、$-1 < -\frac{a}{2} < 1$ なので、定義域 $-1 \le x \le 1$ において、最小値は $x = -\frac{a}{2}$ のとき。

$f(-\frac{a}{2}) = 2(-\frac{a}{2} + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4 = - \frac{a^2}{2} + 4$. したがって、[19]は (4) $4 - \frac{a^2}{2}$

* $a > 0$ のとき、$-\frac{a}{2} < 0$。したがって、$x = 1$ で最大となるか、$x = -1$で最大となるか、$a$の値によって変化する。しかし、$a > 0$の場合、$x=-1$の時、$f(-1) = 6 - 2a$、$x=1$の時、$f(1) = 6 + 2a$。$f(1)$の方が大きいので$x=1$で最大となる。$f(1) = 6 + 2a$。したがって、[20]は (5) $6 + 2a$

3. 最終的な答え

[17]: (6) $6 - 2a$

[18]: (5) $6 + 2a$

[19]: (4) $4 - \frac{a^2}{2}$

[20]: (5) $6 + 2a$