与えられた行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $\begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ であるとき、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $\begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ であるとき、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ とします。固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ の関係は、

$A\vec{v} = \lambda \vec{v}$

で与えられます。これを成分で書き下すと、

$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$

左辺を計算すると、

$\begin{pmatrix} 4 + x \\ 1 + 4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda x \end{pmatrix}$

これから、以下の2つの式が得られます。

$4 + x = \lambda$

$1 + 4x = \lambda x$

1つ目の式から $\lambda = 4 + x$ が得られます。これを2つ目の式に代入すると、

$1 + 4x = (4 + x)x$

$1 + 4x = 4x + x^2$

$x^2 = 1$

よって、$x = \pm 1$ となります。固有値が $\lambda = 4 + x$ となるので、

- $x = 1$ のとき、$\lambda = 4 + 1 = 5$

- $x = -1$ のとき、$\lambda = 4 + (-1) = 3$

もし、与えられた行列の固有値が5であれば、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。もし、与えられた行列の固有値が3であれば、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

固有値スが5の場合、ソは1。固有値スが3の場合、ソは-1。

3. 最終的な答え

問題文に固有値が明記されていないので、固有値を求めることから考えます。

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ であり、

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = (\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 3, 5$ となります。

$\lambda = 5$ のとき、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda = 3$ のとき、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

画像より、固有値スに対する固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ ソ \end{pmatrix}$ であるので、固有値スが５ならソは１となり、固有値スが3ならソは-1となります。

画像が不鮮明なため、固有値が明記されていません。しかし、固有値スが５の場合にはソは１、固有値スが3の場合にはソは-1となります。

最終的な答え：1または-1