与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

a & bc & b+c \\

b & ca & c+a \\

c & ab & a+b

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。行列式を計算する方法はいくつかありますが、ここではサラスの公式を用いることにします。サラスの公式は3x3の行列に対してのみ適用できます。与えられた行列は3x3の行列なので、サラスの公式を用いることができます。

行列式は以下の式で計算されます。

$$

\begin{vmatrix}

a & bc & b+c \\

b & ca & c+a \\

c & ab & a+b

\end{vmatrix}

= a(ca(a+b) - (c+a)ab) - bc(b(a+b) - (c+a)c) + (b+c)(b(ab) - ca c)

$$

展開すると、

$$

= a(ca^2 + cab - abc - a^2b) - bc(ab + b^2 - c^2 - ac) + (b+c)(ab^2 - c^2a)

$$

$$

= a^3c + a^2bc - a b c - a^3b - abc(ab + b^2 - c^2 - ac) + (b+c)(ab^2 - c^2a)

$$

$$

= a^3c + a^2bc - a^2bc - a^3b - ab^2c - b^3c + bc^3 + a b c^2 + ab^3 - ac^2b + abc^2 - ac^3

$$

$$

= a^3c - a^3b - ab^2c - b^3c + bc^3 + a b c^2 + ab^3 - ac^2b + abc^2 - ac^3

$$

$$

= a^3(c-b) + a^2(bc-bc) + a(b^3-c^3 - b^2c + bc^2) -b^3c + bc^3

$$

$$

= a^3(c-b) + a(b-c)(b^2+bc+c^2) -abc(b-c) + bc(c-b)(c+b)

$$

$$

= a^3(c-b) + a(b-c)(b^2+bc+c^2 - bc) + bc(c-b)(c+b)

$$

$$

= a^3(c-b) + a(b-c)(b^2+c^2) + bc(c-b)(c+b)

$$

$$

= (c-b)(a^3 - a(b^2+c^2) - bc(b+c))

$$

$$

= (c-b)(a^3 - ab^2-ac^2 - b^2c - bc^2)

$$

元の行列式を別の方法で計算する：

$$

a(ca(a+b) - ab(c+a)) - bc(b(a+b)-c(c+a)) + (b+c)(b(ab) - c(ca))

$$

$$

= a(ca^2 + abc - abc - a^2b) - bc(ab+b^2 - c^2 - ac) + (b+c)(ab^2 - c^2a)

$$

$$

= a(ca^2 - a^2b) - bc(ab+b^2 - c^2 - ac) + (b+c)(ab^2 - c^2a)

$$

$$

= a^3c - a^3b - ab^2c - b^3c + bc^3 + abc^2 + ab^3 - ac^2b + abc^2 - ac^3

$$

$$

= a^3(c-b) + a^2bc - a^2bc + ab^3 - abc^2 - ab^2c + ac^2b + abc^2 - ac^3 - ac^2b + bc^3 - b^3c - ac^3

$$

$ a^3(c-b) - a^2b c+ a^2bc+ a b^3 - a c^3 + 2abc^2 - ab^2c -abc b^2 - c^2 - ac + ab^3 -ac^3

= a^3 (c-b) -ab^2 c+bc^3 abc^2 -ac^2 - ab^2 +

=a^3 (c-b) + bc^3+c^3

行列式の値はゼロである。

3. 最終的な答え

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