$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $L = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ のとき、以下の等式を証明する。ただし、$E$ は2次の単位行列とする。 (1) $J^2 = K^2 = -L^2 = E$ (2) $LJ = -JL = K$ (3) $KJ = -JK = L$ (4) $KL = -LK = J$

1. 問題の内容

$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $L = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ のとき、以下の等式を証明する。ただし、$E$ は2次の単位行列とする。

(1) $J^2 = K^2 = -L^2 = E$

(2) $LJ = -JL = K$

(3) $KJ = -JK = L$

(4) $KL = -LK = J$

2. 解き方の手順

(1) $J^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

$K^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

$L^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -E$

よって、$J^2 = K^2 = -L^2 = E$ が成り立つ。

(2) $LJ = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = K$

$JL = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = -K$

よって、$LJ = K$ かつ $JL = -K$ より、$LJ = -JL = K$ が成り立つ。

(3) $KJ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = L$

$JK = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = -L$

よって、$KJ = L$ かつ $JK = -L$ より、$KJ = -JK = L$ が成り立つ。

(4) $KL = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = J$

$LK = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -J$

よって、$KL = J$ かつ $LK = -J$ より、$KL = -LK = J$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $J^2 = K^2 = -L^2 = E$

(2) $LJ = -JL = K$

(3) $KJ = -JK = L$

(4) $KL = -LK = J$