次の2次不等式を解け。 $-x^2 + 7x + 1 > 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解け。

$-x^2 + 7x + 1 > 0$

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、$x^2$ の係数を正にする。不等号の向きが変わることに注意する。

$x^2 - 7x - 1 < 0$

次に、2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}$

したがって、$x = \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$ と $x = \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$ が2次方程式の解である。

不等式 $x^2 - 7x - 1 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、2つの解の間である。

3. 最終的な答え

$\frac{7 - \sqrt{53}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$