与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

-a & a & a & b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算する前に、行列の性質を利用して計算を簡略化します。まず、第1列から第2列、第3列、第4列を加えます。すると、第1列はすべて $a+b$ になります。

$\begin{pmatrix}

a+b & a & a & b \\

a+b & -a & b & a \\

a+b & b & -a & a \\

a+b & a & a & -a

\end{pmatrix}$

これで、第1列から $a+b$ をくくり出すことができます。

$(a+b) \begin{vmatrix}

1 & a & a & b \\

1 & -a & b & a \\

1 & b & -a & a \\

1 & a & a & -a

\end{vmatrix}$

次に、第2行、第3行、第4行から第1行を引きます。

$(a+b) \begin{vmatrix}

1 & a & a & b \\

0 & -2a & b-a & a-b \\

0 & b-a & -2a & a-b \\

0 & a-a & a-a & -a-b

\end{vmatrix} = (a+b) \begin{vmatrix}

1 & a & a & b \\

0 & -2a & b-a & a-b \\

0 & b-a & -2a & a-b \\

0 & 0 & 0 & -a-b

\end{vmatrix}$

これで第1列に関して余因子展開をすると、3x3行列の行列式を計算することになります。

$(a+b) \begin{vmatrix}

-2a & b-a & a-b \\

b-a & -2a & a-b \\

0 & 0 & -a-b

\end{vmatrix}$

さらに、第3列に関して余因子展開をすると、2x2行列の行列式を計算することになります。

$(a+b)(-a-b) \begin{vmatrix}

-2a & b-a \\

b-a & -2a

\end{vmatrix} = -(a+b)^2 ((-2a)(-2a) - (b-a)(b-a))$

$= -(a+b)^2 (4a^2 - (b^2 - 2ab + a^2)) = -(a+b)^2 (3a^2 + 2ab - b^2)$

$= -(a+b)^2 (3a-b)(a+b) = -(a+b)^3 (3a-b)$

3. 最終的な答え

$-(a+b)^3(3a-b)$

または

$(a+b)^3(b-3a)$