$t = 3x + 1$ の変数変換を用いて、定積分 $\int_0^1 (3x+1)^4 dx$ の値を計算し、$\frac{\text{ア}}{5}$ の $\text{ア}$ を求める。

はい、承知いたしました。画像に写っている3つの数学の問題を解きます。

**問題1**

1. 問題の内容

$t = 3x + 1$ の変数変換を用いて、定積分 $\int_0^1 (3x+1)^4 dx$ の値を計算し、$\frac{\text{ア}}{5}$ の $\text{ア}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = 3x + 1$ より、$dt = 3dx$ となります。また、積分区間は、$x: 0 \to 1$ のとき、$t: 1 \to 4$ に変わります。したがって、

$\int_0^1 (3x+1)^4 dx = \int_1^4 t^4 \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int_1^4 t^4 dt$

$= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{5} t^5 \right]_1^4 = \frac{1}{15} (4^5 - 1^5) = \frac{1}{15} (1024 - 1) = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5}$

したがって、求める値は341です。

3. 最終的な答え

341

**問題2**

1. 問題の内容

偶関数・奇関数の性質を用いて、定積分 $\int_{-2}^2 (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

奇関数は積分区間が対称（$-a$ から $a$）のとき、積分値が0になることを利用します。$x^5$ と $-4x$ は奇関数なので、積分区間 $-2$ から $2$ では積分値が0になります。$3x^2$ は偶関数で、$-1$も偶関数と考えられます。

$\int_{-2}^2 (x^5 + 3x^2 - 4x - 1) dx = \int_{-2}^2 x^5 dx + \int_{-2}^2 3x^2 dx - \int_{-2}^2 4x dx - \int_{-2}^2 1 dx$

$= 0 + 2 \int_0^2 3x^2 dx - 0 - 2 \int_0^2 1 dx$

$= 6 \int_0^2 x^2 dx - 2 \int_0^2 dx = 6 \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^2 - 2 [x]_0^2 = 2 (2^3 - 0^3) - 2(2 - 0) = 2(8) - 4 = 16 - 4 = 12$

3. 最終的な答え

12

**問題3**

1. 問題の内容

$t = 2 - \cos x$ の変数変換を用いて、定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx$ の値を計算し、$\log \text{ア}$ の $\text{ア}$ を求める。

2. 解き方の手順

$t = 2 - \cos x$ より、$dt = \sin x dx$ となります。積分区間は、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t: 2 - \cos 0 \to 2 - \cos \frac{\pi}{2}$ すなわち $t: 2 - 1 \to 2 - 0$ で $t: 1 \to 2$ に変わります。したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x} dx = \int_1^2 \frac{1}{t} dt = [\log t]_1^2 = \log 2 - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$

3. 最終的な答え

2