与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の4つのケースについて、一次独立かどうかを判断します。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} -1 \\ -4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の4つのケースについて、一次独立かどうかを判断します。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} -1 \\ -4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルの組が一次独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのは、すべての係数がゼロの場合に限ることを意味します。

(1)

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$となる$c_1, c_2$について考えます。

この式は連立方程式

$c_1 - c_2 = 0$

$c_1 + c_2 = 0$

と同値です。

この連立方程式を解くと、$c_1 = 0, c_2 = 0$となります。

したがって、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$は一次独立です。

(2)

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$となる$c_1, c_2, c_3$について考えます。

この式は連立方程式

$c_1 - c_2 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

と同値です。

例えば、$c_2 = 1$とすると、$c_1 = 1, c_3 = -1$となります。つまり、$c_1, c_2, c_3$がすべて0でなくてもゼロベクトルになる線形結合が存在するので、$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$は一次従属です。一般に、2次元ベクトルが3つ以上あれば必ず一次従属になります。

(3)

$c_1 \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$となる$c_1, c_2$について考えます。

この式は連立方程式

$-c_1 + 5c_2 = 0$

$-4c_1 + 3c_2 = 0$

と同値です。

この連立方程式を解くと、$c_1 = 0, c_2 = 0$となります。

したがって、$\begin{bmatrix} -1 \\ -4 \end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$は一次独立です。

(4)

$c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$となる$c_1, c_2, c_3$について考えます。

この式は連立方程式

$4c_2 - 2c_3 = 0$

$2c_1 + 4c_2 - c_3 = 0$

と同値です。

第一式より、$c_3 = 2c_2$です。

これを第二式に代入すると、$2c_1 + 4c_2 - 2c_2 = 0$より、$2c_1 + 2c_2 = 0$となり、$c_1 = -c_2$となります。

例えば、$c_2 = 1$とすると、$c_1 = -1, c_3 = 2$となります。つまり、$c_1, c_2, c_3$がすべて0でなくてもゼロベクトルになる線形結合が存在するので、$\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$は一次従属です。

3. 最終的な答え

(1) 一次独立

(2) 一次従属

(3) 一次独立

(4) 一次従属