(1) $x^2 - 4x + 7$ (2) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ (3) $2x^2 - 4ax$

##

1. 問題の内容

1. 次の2次式を平方完成せよ。

(1) $x^2 - 4x + 7$

(2) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

(3) $2x^2 - 4ax$

2. ある放物線を $y$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したら、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

##

2. 解き方の手順

###

1. 平方完成

(1) $x^2 - 4x + 7$

$x^2 - 4x$ の部分を平方完成させるために, $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ を利用します.

$x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$

$x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$

(2) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

まず $\frac{1}{3}$ で括ります.

$\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3}$

$x^2 - 4x$ の部分を平方完成させるために, $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ を利用します.

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{7}{3}$

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + \frac{7}{3}$

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

$\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1$

(3) $2x^2 - 4ax$

まず $2$ で括ります.

$2x^2 - 4ax = 2(x^2 - 2ax)$

$x^2 - 2ax$ の部分を平方完成させるために, $(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ を利用します.

$2(x^2 - 2ax) = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2)$

$2(x^2 - 2ax) = 2((x - a)^2 - a^2)$

$2x^2 - 4ax = 2(x - a)^2 - 2a^2$

###

2. 放物線の移動

もとの放物線を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

1. $y$ 軸に関して対称移動: $x$ を $-x$ に置き換える。

$y = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$

2. $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動: $x$ を $x + 2$, $y$ を $y - 1$ に置き換える。

$y - 1 = a(x + 2)^2 - b(x + 2) + c$

$y = a(x^2 + 4x + 4) - b(x + 2) + c + 1$

$y = ax^2 + (4a - b)x + (4a - 2b + c + 1)$

この結果が $y = x^2 + 6x + 10$ に等しいので、係数を比較します。

$a = 1$

$4a - b = 6$

$4a - 2b + c + 1 = 10$

$a = 1$ より、

$4(1) - b = 6$

$4 - b = 6$

$b = -2$

$4(1) - 2(-2) + c + 1 = 10$

$4 + 4 + c + 1 = 10$

$9 + c = 10$

$c = 1$

したがって、もとの放物線の方程式は $y = x^2 - 2x + 1$

##

3. 最終的な答え

1. (1) $(x - 2)^2 + 3$

(2) $\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1$

(3) $2(x - a)^2 - 2a^2$

2. $y = x^2 - 2x + 1$