ある日の数学の試験の平均点がA組、B組、C組の男女別に整理された表が与えられています。この表をもとに、以下の3つの問いに答えます。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を全て求めます。 (3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験しました。この2人の得点の和を$k$点とするとき、当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を全て求めます。ただし、$x$は1以上39以下の整数であり、個人の得点は全て整数値とします。

1. 問題の内容

ある日の数学の試験の平均点がA組、B組、C組の男女別に整理された表が与えられています。この表をもとに、以下の3つの問いに答えます。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求めます。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を全て求めます。

(3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験しました。この2人の得点の和を$k$点とするとき、当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を全て求めます。ただし、$x$は1以上39以下の整数であり、個人の得点は全て整数値とします。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求めます。

A組の平均点は、(男子の合計点 + 女子の合計点) / (男子の人数 + 女子の人数) で計算できます。

男子の合計点は $32 \times 60 = 1920$点

女子の合計点は $8 \times 70 = 560$点

A組の平均点は $(1920 + 560) / (32 + 8) = 2480 / 40 = 62$点

次に、B組の平均点がA組の平均点(62点)と等しいときの$x$の値を求めます。

B組の男子の合計点は $(40-x) \times 65$点

B組の女子の合計点は $x \times 55$点

B組の人数は $(40-x) + x = 40$人

B組の平均点は $\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40}$

これが62点と等しいので、

$\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40} = 62$

$(40-x) \times 65 + x \times 55 = 62 \times 40$

$2600 - 65x + 55x = 2480$

$-10x = -120$

$x = 12$

(2) C組の平均点がA組の平均点(62点)以上である条件を求めます。

C組の男子の合計点は $(x+5) \times 59$点

C組の女子の合計点は $(40-x) \times 64$点

C組の人数は $(x+5) + (40-x) = 45$人

C組の平均点は $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45}$

これが62点以上であるので、

$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45} \ge 62$

$(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 \ge 62 \times 45$

$59x + 295 + 2560 - 64x \ge 2790$

$-5x + 2855 \ge 2790$

$-5x \ge -65$

$x \le 13$

次に、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上である条件を求めます。

B組の合計点は $(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 10x$

C組の合計点は $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = -5x + 2855$

$| (2600 - 10x) - (-5x + 2855) | \ge 300$

$| -5x - 255 | \ge 300$

$| 5x + 255 | \ge 300$

$5x + 255 \ge 300$ または $5x + 255 \le -300$

$5x \ge 45$ または $5x \le -555$

$x \ge 9$ または $x \le -111$

$x$は1以上39以下の整数なので、$x \ge 9$

したがって、$9 \le x \le 13$ となります。

$x$のとりうる値は9, 10, 11, 12, 13です。

(3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、この2人の得点の和を$k$とします。

当初、C組の平均点がA組の平均点以上でしたが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなったとします。$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を全て求めます。

当初のC組の平均点は$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45}$であり、これは62以上でした。

2人の男子の得点を加えた後のC組の平均点は $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 + k}{47}$

これが62より小さくなったので、$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 + k}{47} < 62$

$(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 + k < 62 \times 47$

$-5x + 2855 + k < 2914$

$k < 5x + 59$

当初、C組の平均点はA組の平均点以上でしたので、(2)より$x \le 13$。

また、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上である条件は$x \ge 9$でした。

したがって、$9 \le x \le 13$です。

$x = 9, 10, 11, 12, 13$のいずれかです。

新しい平均点は62未満になるためには、$k < 5x + 59$を満たす必要があります。

$x$がただ一つに定まるためには、$k$の値によって$x$の値が一つだけ決まる必要があります。

つまり、ある$k$の値に対して、$k < 5x + 59$を満たす$x$の値が一つだけになる必要があります。

$x = 9$のとき、$k < 5 \times 9 + 59 = 104$

$x = 10$のとき、$k < 5 \times 10 + 59 = 109$

$x = 11$のとき、$k < 5 \times 11 + 59 = 114$

$x = 12$のとき、$k < 5 \times 12 + 59 = 119$

$x = 13$のとき、$k < 5 \times 13 + 59 = 124$

もし $104 \le k < 109$ ならば、$x = 9$

もし $109 \le k < 114$ ならば、$x = 9, 10$

もし $114 \le k < 119$ ならば、$x = 9, 10, 11$

もし $119 \le k < 124$ ならば、$x = 9, 10, 11, 12$

$k$が$104 \le k < 109$の範囲であれば、$x$は9に確定します。したがって、$k = 104, 105, 106, 107, 108$

$k$が$109 \le k < 114$の範囲であれば、$x$は確定しません。

$k$が$114 \le k < 119$の範囲であれば、$x$は確定しません。

$k$が$119 \le k < 124$の範囲であれば、$x$は確定しません。

したがって、$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値は、104, 105, 106, 107, 108です。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点、$x=12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) $k = 104, 105, 106, 107, 108$