$(a+2b-c)^4$ の展開式における $ab^2c$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(a+2b-c)^4$ の展開式における $ab^2c$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(x_1+x_2+...+x_m)^n$ の展開式における $x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m}$ の係数は、

$\frac{n!}{n_1!n_2!...n_m!}$

となる。ただし、$n_1+n_2+...+n_m = n$ である。

今回の問題では、$(a+2b-c)^4$ の展開式における $ab^2c$ の係数を求める。

$a, 2b, -c$ の指数をそれぞれ $p, q, r$ とすると、$p+q+r = 4$ であり、求める係数は $ab^2c$ なので、$p=1, q=2, r=1$ となる。

多項定理より、

$\frac{4!}{1!2!1!} a^1(2b)^2(-c)^1 = \frac{4!}{1!2!1!} a(4b^2)(-c) = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1 \times 1} (-4)ab^2c = 12 \times (-4)ab^2c = -48ab^2c$

したがって、$ab^2c$ の係数は $-48$ である。

3. 最終的な答え

-48