$x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ とおくと、$x = t+1$ である。また、$x > 1$ より $t > 0$ である。

このとき、$x + \frac{2}{x-1}$ は $t+1 + \frac{2}{t}$ となる。

よって、$t+1 + \frac{2}{t} = t + \frac{2}{t} + 1$ を考える。

相加平均・相乗平均の関係より、 $t>0$ のとき、

$t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$

が成り立つ。

したがって、

$t + \frac{2}{t} + 1 \geq 2\sqrt{2} + 1$

等号成立は $t = \frac{2}{t}$ のとき、すなわち $t^2 = 2$ のときである。

$t>0$ より、 $t = \sqrt{2}$ となる。

このとき、$x = t+1 = \sqrt{2} + 1 > 1$ であるから、条件を満たす。

よって、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値は $2\sqrt{2} + 1$ である。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 1$