与えられた数ベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の4つの組について、一次独立性を判定します。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた数ベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の4つの組について、一次独立性を判定します。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

数ベクトルの組が一次独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、すべての係数がゼロの場合に限ることを意味します。逆に、係数がすべてゼロでなくても線形結合がゼロベクトルになる場合、それらのベクトルは一次従属です。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ に対して、$c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

この式は、$c_1 + c_2 = 0$ と $c_1 - c_2 = 0$ を意味します。

これらの連立方程式を解くと、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ となります。よって、一次独立です。

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ に対して、$c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

この式は、$c_1 - c_2 = 0$ と $c_2 + c_3 = 0$ を意味します。

$c_1 = c_2$ であり、$c_2 = -c_3$ なので、$c_1 = -c_3$ です。例えば、$c_1 = 1$ ならば、$c_2 = 1$ と $c_3 = -1$ が成り立ち、係数が全て0ではないにもかかわらず、線形結合がゼロベクトルになるので、一次従属です。より簡単に、2次元ベクトルが3つあるので、必ず一次従属になります。

(3) $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix}$ に対して、$c_1\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

この式は、$2c_1 + 3c_2 = 0$, $0 = 0$, $3c_1 - 5c_2 = 0$ を意味します。

$2c_1 + 3c_2 = 0$ と $3c_1 - 5c_2 = 0$ を解くと、$10c_1 + 15c_2 = 0$ と $9c_1 - 15c_2 = 0$ となります。

よって、$19c_1 = 0$ となり、$c_1 = 0$ が必要です。

したがって、$c_2 = 0$ となります。よって、一次独立です。

(4) $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ に対して、$c_1\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} -3 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

この式は、$-3c_2 + c_3 = 0$, $-6c_2 + 2c_3 = 0$, $-c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$ を意味します。

最初の2つの式は同じ情報を示しており、$c_3 = 3c_2$ です。

3番目の式に代入すると、$-c_1 + 2c_2 - 3c_2 = 0$ となり、$-c_1 - c_2 = 0$ となります。つまり、$c_1 = -c_2$ です。

例えば、$c_2 = 1$ とすると、$c_1 = -1$ かつ $c_3 = 3$ となり、係数が全て0ではないにもかかわらず、線形結合がゼロベクトルになるので、一次従属です。

3. 最終的な答え

(1) 一次独立

(2) 一次従属

(3) 一次独立

(4) 一次従属