与えられた複数の式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

5 (1) $x^2 - 4x + 4$

これは $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ の形を利用します。

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$

5 (2) $x^2 - x - 6$

和が -1、積が -6 となる2つの数を見つけます。

-3 と 2 が条件を満たすので、

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

5 (3) $x^2 - 36$

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形を利用します。

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x+6)(x-6)$

5 (4) $x^2 - 16x + 15$

和が -16、積が 15 となる2つの数を見つけます。

-15 と -1 が条件を満たすので、

$x^2 - 16x + 15 = (x - 15)(x - 1)$

5 (5) $x^2 + 9x - 36$

和が 9、積が -36 となる2つの数を見つけます。

12 と -3 が条件を満たすので、

$x^2 + 9x - 36 = (x + 12)(x - 3)$

5 (6) $x^2 - 11x - 60$

和が -11、積が -60 となる2つの数を見つけます。

-15 と 4 が条件を満たすので、

$x^2 - 11x - 60 = (x - 15)(x + 4)$

5 (7) $x^2 - 16x + 64$

これは $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ の形を利用します。

$x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x-8)^2$

5 (8) $4x^2 + 4x + 1$

これは $(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$ の形を利用します。

$4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x+1)^2$

6 (1) $100x^2 - 60xy + 9y^2$

これは $(ax-by)^2 = a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2$ の形を利用します。

$100x^2 - 60xy + 9y^2 = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3y + (3y)^2 = (10x - 3y)^2$

6 (2) $a^2x^2 - 49y^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形を利用します。

$a^2x^2 - 49y^2 = (ax)^2 - (7y)^2 = (ax+7y)(ax-7y)$

6 (3) $100x^2 - 40x + 4$

これは $(ax-b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2$ の形を利用します。

$100x^2 - 40x + 4 = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 2 + 2^2 = (10x-2)^2 = (2(5x-1))^2 = 4(5x-1)^2$ または $2(5x-1) = 2(5x-1)(5x-1)=(10x-2)(10x-2)$

6 (4) $36x^2 - 81$

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形を利用します。

$36x^2 - 81 = (6x)^2 - 9^2 = (6x+9)(6x-9) = (3(2x+3))(3(2x-3))=9(2x+3)(2x-3)$

6 (5) $3x^2 - 6x - 9$

3でくくり出します。

$3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)$

和が -2、積が -3 となる2つの数を見つけます。

-3 と 1 が条件を満たすので、

$3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

6 (6) $4ax^2 + 12axy + 9ay^2$

$a$でくくり出します。

$4ax^2 + 12axy + 9ay^2 = a(4x^2 + 12xy + 9y^2)$

これは $(Ax+By)^2 = A^2x^2 + 2ABxy + B^2y^2$ の形を利用します。

$a(4x^2 + 12xy + 9y^2) = a((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2) = a(2x+3y)^2$

3. 最終的な答え

5 (1) $(x-2)^2$

5 (2) $(x-3)(x+2)$

5 (3) $(x+6)(x-6)$

5 (4) $(x-15)(x-1)$

5 (5) $(x+12)(x-3)$

5 (6) $(x-15)(x+4)$

5 (7) $(x-8)^2$

5 (8) $(2x+1)^2$

6 (1) $(10x-3y)^2$

6 (2) $(ax+7y)(ax-7y)$

6 (3) $4(5x-1)^2$ または $(10x-2)^2$ または $9(2x+3)(2x-3)$

6 (4) $9(2x+3)(2x-3)$

6 (5) $3(x-3)(x+1)$

6 (6) $a(2x+3y)^2$