与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解きます。 (1) $x + 3y - 2z = 1$ $2x + 6y = 10$ $4x + 12y - 9z = 2$ (2) $x - 3y - z + 2w = 3$ $-x + 3y + z = 1$ $3x - 9y - 3z + 5w = 7$ $2x - 6y - 2z + 5w = 8$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解きます。

(1)

$x + 3y - 2z = 1$

$2x + 6y = 10$

$4x + 12y - 9z = 2$

(2)

$x - 3y - z + 2w = 3$

$-x + 3y + z = 1$

$3x - 9y - 3z + 5w = 7$

$2x - 6y - 2z + 5w = 8$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表します。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & 0 & 10 \\ 4 & 12 & -9 & 2 \end{bmatrix}$

2行目を1行目の-2倍を足す、3行目に1行目の-4倍を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

2行目を1/4倍すると

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の2倍を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これにより、

$x + 3y = 5$

$z = 2$

$y = k$ とすると、$x = 5 - 3k$となります。

(2)

拡大係数行列で表すと

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & -9 & -3 & 5 & 7 \\ 2 & -6 & -2 & 5 & 8 \end{bmatrix}$

2行目に1行目を足す、3行目に1行目の-3倍を足す、4行目に1行目の-2倍を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

2行目を1/2倍すると

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を足す、4行目に2行目の-1倍を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の-2倍を足すと

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これにより、

$x - 3y - z = -1$

$w = 2$

$y = s, z = t$ とすると、$x = 3s + t - 1$となります。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 5 - 3k, y = k, z = 2$

(2)

$x = 3s + t - 1, y = s, z = t, w = 2$