四面体OABCがあり、OA, OB, OCは互いに垂直で長さが2である。 (1) 三角形ABCの面積Sを求める。 (2) 頂点Oから底面ABCへ下ろした垂線OHの長さを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、OA, OB, OCは互いに垂直で長さが2である。

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

(2) 頂点Oから底面ABCへ下ろした垂線OHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積を求める。

まず、各辺の長さを計算する。

$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{OC^2 + OA^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

よって、$\triangle ABC$は正三角形である。

正三角形の面積の公式は、一辺の長さをaとすると、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$である。

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 = 2\sqrt{3}$

(2) 頂点Oから底面ABCへ下ろした垂線OHの長さを求める。

四面体OABCの体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times (\triangle OAB) \times OC = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 2) \times 2 = \frac{4}{3}$

また、四面体OABCの体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times (\triangle ABC) \times OH$で表すことができる。

$\frac{4}{3} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times OH$

$OH = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC$の面積Sは$2\sqrt{3}$

(2) 垂線OHの長さは$\frac{2\sqrt{3}}{3}$