(1) 円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BAD = 110^\circ$、$\angle DCT' = 50^\circ$のとき、$\angle BDC$を求める。 (2) 円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BDC = 70^\circ$、$\angle DCT' = 30^\circ$のとき、$\angle BAD$を求める。

1. 問題の内容

(1) 円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BAD = 110^\circ$、$\angle DCT' = 50^\circ$のとき、$\angle BDC$を求める。

(2) 円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BDC = 70^\circ$、$\angle DCT' = 30^\circ$のとき、$\angle BAD$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円に内接する四角形の性質より、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$。

$\angle BCT = 180^\circ - \angle DCT' = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。

$\angle BCA = \angle BCT - \angle BCD = 130^\circ - 70^\circ = 60^\circ$。

円の接線と弦の作る角の定理より、$\angle BAC = \angle DCT' = 50^\circ$。

$\triangle ABC$において、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$。

円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 50^\circ$。

(2)

円の接線と弦の作る角の定理より、$\angle CBD = \angle DCT' = 30^\circ$。

$\triangle BCD$において、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BDC - \angle CBD = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ$。

円に内接する四角形の性質より、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) $\angle BDC = 50^\circ$

(2) $\angle BAD = 100^\circ$