はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のとき、$AB$ の長さを求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のとき、$\angle C$ の大きさを求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のとき、$\cos A$ の値と $\triangle ABC$ の面積を求める。

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2. 解き方の手順**

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ なので、$\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

(2)

$\tan \theta = -4$ なので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -4$, つまり $\sin \theta = -4 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入して、

$(-4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4 < 0$ より、$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$

したがって、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3)

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$AB = \frac{CA \sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

(4)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$

$(\sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + AC^2 - 2 \sqrt{2} \cdot AC \cos 120^\circ$

$6 = 2 + AC^2 - 2 \sqrt{2} \cdot AC \cdot (-\frac{1}{2})$

$4 = AC^2 + \sqrt{2} AC$

$AC^2 + \sqrt{2} AC - 4 = 0$

$AC = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 16}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

$AC > 0$ より、$AC = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$AB = AC = \sqrt{2}$ より $\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、$\angle C = \angle B$

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ より、

$120^\circ + \angle C + \angle C = 180^\circ$

$2 \angle C = 60^\circ$

$\angle C = 30^\circ$

(5)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$7^2 = 6^2 + 5^2 - 2(6)(5) \cos A$

$49 = 36 + 25 - 60 \cos A$

$49 = 61 - 60 \cos A$

$60 \cos A = 12$

$\cos A = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A > 0$ より、$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} (6)(5) \frac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$

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3. 最終的な答え**

(1) $\tan \theta = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $AB = 2$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{5}$, $\triangle ABC = 6\sqrt{6}$