平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $AD=5$, $\cos \angle BAD = \frac{1}{4}$である。 (1) 対角線BDの長さを求めよ。 (2) 対角線ACの長さを求めよ。 (3) 対角線BDとACの交点をEとする。このとき、$\triangle ABE$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$, $AD=5$, $\cos \angle BAD = \frac{1}{4}$である。

(1) 対角線BDの長さを求めよ。

(2) 対角線ACの長さを求めよ。

(3) 対角線BDとACの交点をEとする。このとき、$\triangle ABE$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。

余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos \angle BAD$

$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{4}$

$BD^2 = 16 + 25 - 10 = 31$

$BD = \sqrt{31}$

(2) 対角線ACの長さを求める。

平行四辺形の性質より、$\angle BCD = \angle BAD$なので$\cos \angle BCD = \frac{1}{4}$

余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \angle ADC$

$AC^2 = AD^2 + AB^2 - 2AD \cdot AB \cos(180^\circ - \angle BAD)$

$\cos(180^\circ - \angle BAD) = -\cos \angle BAD = -\frac{1}{4}$

$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = 25 + 16 + 10 = 51$

$AC = \sqrt{51}$

(3) $\triangle ABE$の面積を求める。

平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるので、$AE = \frac{1}{2}AC$, $BE = \frac{1}{2}BD$。

$\triangle ABE$の面積は、

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} AE \cdot BE \sin \angle AEB$

平行四辺形ABCDの面積は、$S_{ABCD} = AB \cdot AD \sin \angle BAD = 4 \cdot 5 \sin \angle BAD = 20 \sin \angle BAD$

$\sin^2 \angle BAD + \cos^2 \angle BAD = 1$

$\sin^2 \angle BAD = 1 - \cos^2 \angle BAD = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle BAD = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S_{ABCD} = 20 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 5\sqrt{15}$

平行四辺形の面積は、4つの$\triangle ABE$の面積の4倍に等しいので、$S_{ABCD} = 4S_{\triangle ABE}$

$\angle AEB = \theta$とすると $\sin \theta = \sin \angle BAD = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

したがって、$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} AE \cdot BE \sin \angle AEB = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AC)(\frac{1}{2}BD)\sin \angle AEB = \frac{1}{8} \sqrt{51}\sqrt{31} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$。

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{4} (5 \sqrt{15}) = \frac{5\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{31}$

(2) $AC = \sqrt{51}$

(3) $\frac{5\sqrt{15}}{4}$