一辺の長さが9cmの正方形ABCDがある。頂点Cが辺AD上にくるように線分MNで折り、AMとBCの交点をEとする。 (1) ∠CND = 40°のとき、∠CNMの大きさを求めなさい。 (2) △AEC ∽ △DCN であることを証明しなさい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

一辺の長さが9cmの正方形ABCDがある。頂点Cが辺AD上にくるように線分MNで折り、AMとBCの交点をEとする。

(1) ∠CND = 40°のとき、∠CNMの大きさを求めなさい。

(2) △AEC ∽ △DCN であることを証明しなさい。

2. 解き方の手順

(1) ∠CNMの大きさの計算

線分MNで折っているので、∠CNM = ∠MNCとなる。また、∠MND = ∠MNC + ∠CNDである。

∠MND = 90°であるから、

$∠MNC + ∠CND = 90°$

∠CND = 40°を代入すると、

$∠MNC + 40° = 90°$

$∠MNC = 90° - 40° = 50°$

∠CNM = ∠MNCであるから、∠CNM = 50°

(2) △AEC ∽ △DCNの証明

△AECと△DCNにおいて、

∠EAC = ∠NDC = 90° …①

正方形を折り返しているので、CN = AC …②

∠ACN = αとおくと、∠ECD = ∠ACD - ∠ACN = 90 - α

また、∠CAE = ∠B - ∠AEC = 90 - ∠AECである。

ここで∠AEC = ∠MEN（対頂角）であり、∠MEN + ∠CMN = 180度である。

線分MNは折り返した線であるから、CM = 90 - ∠CMN = 180度であり∠CMN = ∠CNM。

したがって∠AEC = 180 - ∠CNM。

(1)より∠CNM = 50°であるので∠AEC = 180 - 50 = 130度

したがって∠CAE = 90 - ∠AEC = 90 - 130 = -40度。

これは明らかに間違いであるので∠AECの考え方を修正する。

ここで線分MNで折り返すと、∠MNCと∠CNMは等しくなることを利用する。

△DCNは直角三角形であり、∠CDN = 90°、∠CND = 40°なので、∠DCN = 180 - 90 - 40 = 50°

正方形ABCDにおいて、∠A= ∠B= ∠C= ∠D= 90°

△AECにおいて∠A = 90°である。

∠AEC = 90° - 50° = 40°であるので

∠ACE = 180 - (90 + 40) = 50°

△AECにおいて、

∠EAC = 90°

∠ACE = 50°

△DCNにおいて

∠NDC = 90°

∠DCN = 50°

したがって、二角がそれぞれ等しいので△AEC ∽ △DCNである。

3. 最終的な答え

(1) ∠CNM = 50°

(2) △AEC ∽ △DCN (証明は上記参照)